弧微分与曲率-精选课件(公开).ppt

第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学 第六节 弧微分与曲率 一 弧微分 * 怎样描述曲线局部弯曲程度？ ) ) 弧段弯曲程度 越大转角越大 转角相同弧段越 短弯曲程度越大 ) 我们直觉认识到：直线不弯曲，曲线不同部分 有不同的弯曲程度； 规定： ? ? 易看出：弧长 是x的单调增函数. 下面求 的导数与微分 ? ? ? ? ? ? 弧微分公式 ? 弧微分公式 设x? x?Dx为(a? b)内两个邻近的点? 它们在曲线y?f(x) 上的对应点为M? N? 并设对应于x的增量Dx? 弧 s 的增量 为Ds. 因为当Dx?0时? Ds ~ MN? 又Dx与Ds同号? 所以 由此得弧微分公式: 或者 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量． ) 弯曲程度越大转角越大 转角相同弧段短的弯曲大 1、曲率的定义 ) ) 二、曲率及其计算公式 问题: 怎样刻画曲线的弯曲程度？ 提示： 可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表 达弧段的平均弯曲程度. 2、曲率及其计算公式 在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 对应切线 定义 弧段 上的平均曲率 点 M 处的曲率 注: 直线上任意点处的曲率为 0 ! 转角为 例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 . 解: 如图所示 , 可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ; R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 . 有曲率近似计算公式 故曲率计算公式为 又 曲率K 的计算公式 二阶可导, 设曲线弧 则由 注:参数方程下曲率的计算 例2 计算等边双曲线xy?1在 点(1, 1)处的曲率. 曲线在点(1? 1)处的曲率为 因此y?|x?1??1? y??|x?1?2? 解 例3 抛物线y?ax2?bx?c上 哪一点处的曲率最大？ 解 由y?ax2?bx?c? 得 y??2ax?b? y???2a? 代入曲率公式? 得 显然? 当2ax?b?0时曲率最大? 因此? 抛物线在顶点处的曲率最大? 此处K?|2a|? 例4. 求椭圆 在t=0处的曲率. 解: 故曲率为 在t=0处,即在点(a,0)的曲率为 思考: 上面的椭圆在何处曲率最大? 三、 曲率圆与曲率半径 设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点 在曲线 把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的 曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做 曲率中心. 在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系: (1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 . M 处作曲线的切线和法线, 的凹向一侧法线上取点 D 使 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲 率互为倒数. 注: 2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处 的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大 (曲线越弯曲). 3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似). 例6. 求抛物线 上任一点处的曲率和曲率半径. 解： x y O A 法线： x = 0 . 切线：y = 0 , 求 的最小曲率半径时的曲率圆的方程. 例7 设工件表面的截线为抛物线y?0.4x2. 现在要用 砂轮磨削其内表面. 问用直径多大的砂轮才比较合适？ 解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径? 抛物线顶点处的曲率半径为 r=K-1?1.25? 因此, 选用砂轮的半径不得超过1.25单位长? 即直径 不得超过2.50单位长? y??0.8x? y???0.8? y?|x?0?0? y??|x?0?0.8? 把它们代入曲率公式? 得 例9 ? ? 解 如图,受力分析 视飞行员在点o作匀速圆周运动, O点处抛物线轨道的曲率半径 ? ? 得曲率为 曲率半径为 即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力. 运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学分支——微分几何学. 基本概念: 弧微分,曲率,曲率圆. 曲线弯曲程度的描述——曲率; 曲线弧的近似代替曲率圆(弧). 四、小结 *