信号与系统412 双边拉普拉斯变换.ppt

* 4.12 双边拉普拉斯变换 在某些情况下，有时还要考虑双边时间函数，如周期信号、平稳随机过程等，或是不符合因果律的理想系统，这时就需要用双边拉普拉斯变换来分析。 1、双边拉普拉斯变换的定义 是一个双边函数，可将其分解为右边函数和左边函数之和 则有 若 、 同时存在，且二者有公共收敛域，则 的双边拉氏变换为 右边函数 的拉氏变换 和左边函数 拉氏变换 之和。 如 与 没有公共收敛域，则 的双边拉氏变换就不存在。 2、如何求左边函数的拉氏变换 令 ，则上式成为 再令 ，则上式成为 综上所述，求取左边函数的拉氏变换 可按下列三个步骤进行： （1）令 ，构成右边函数 ； （2）对 求单边拉氏变换得 ； （3）对复变量 取反，即 ，就求得 。 例1 求双边指数函数 ， 的双边拉普拉斯变换。 解：首先求右边函数的拉氏变换 左边函数的拉氏变换 求取如下： （1） ； （2） （3） 因为 ，所以 和 有公共收敛域 ， 故 存在并为 二. 双边拉普拉斯反变换 例2 求 ，的时间原函数。收敛域分别为 （1） （2） （3） 解：（1）由极点分布和给定收敛域作下图。可见，左侧极点为 ，右侧极点为 。 左侧的极点对应于 的右边函数 将 展开成部分分式有 右侧的极点对应于 的左边函数 对应于 的是左边函数 ， 的求取如下 ① 令 ，得 ； ② 对 求单边拉氏反变换，得 ③ 令 ，即 最后得其解为 三. 双边信号作用下线性系统的响应 例3 已知激励信号 ，系统冲激响应为 ，求系统的响应。 解：由双边拉氏变换有 而 可见， 与 有公共收敛域 ， 故 存在，则有 由收敛域可知， 为右侧极点，对应的左边时间函数为 均为右侧极点，对应的右边时间函数为 故系统的响应 例 4.13 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 若信号是有始信号，可从已知的单边拉氏变换求傅氏变换 双边拉氏变换 单边拉氏变换 傅氏变换 收敛边界落于s平面右半边 单边拉氏变换收敛域 对应增长函数的情况 不存在傅氏变换 *