《高等代数§基变换与坐标变换》-公开课件（精选）.pptVIP

2、有关性质 引理 设 * * 一、向量的形式书写法 二、基变换 §6.4 基变换与坐标变换 三、坐标变换 引入 　　我们知道，在n维线性空间V中，任意n个线性无关的向量都可取作线性空间V的一组基．V中任一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的，但是在不同基下的坐标一般是不同的．因此在处理一些问题是时，如何选择适当的基使我们所讨论的向量的坐标比较简单是一个实际的问题．为此我们首先要知道同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系，即随着基的改变，向量的坐标是如何变化的. 一、向量的形式书写法 1、V为数域　P上的 n 维线性空间，　　　　　 为 V 中的一组向量， 　　　，若 则形式地记作 约定 向量矩阵 则形式地记作 2、V为数域 P 上 n 维线性空间， 　　； 为V中的两组向量，若 在形式书写法下有下列运算规律 1) 若 线性无关，则 注： 2)　　　　　　 ；　　　　　为V中的两组向量， 矩阵　 　　　　，则 ； ； ； 若 线性无关，则 1、定义 设V为数域P上n维线性空间，　　　　　； 为V中的两组基，若 ① 即， 二、基变换 则称矩阵 为由基　　　　　 到基　　　　　 的过渡矩阵； 称 ① 或 ② 为由基　　　　　 到基　　　　　　 的基变换公式． ② 是一组线性无关的向量，A是一个 n级矩阵，令 则 线性无关的充要条件是A可逆。 　 1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆 矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵． ③ ④ 2）若由基 　　　　　　　　　　　 过渡矩阵为A, 则由基 　　　　　　　　　　　过渡矩阵为A-1. 3）若由基 　　　　　　　　　　　过渡矩阵为A, 由基 　　　　　　　　　　　过渡矩阵为B，则 由基 　　　　　　　　　　　过渡矩阵为AB. 事实上,若 则有， 三、坐标变换 ⑤ 1、定义：V为数域P上n维线性空间 为V中的两组基，且 设　　 且ξ在基　　　　　 与基 下的坐标分别为　　　　　　与　　　　　　 ， 即， 与 则 或 　 ⑦ 　 称⑥或⑦为向量ξ在基变换⑤下的坐标变换公式． ⑥ 例1　在Pn中，求由基 到基 过渡矩阵．其中 解：∵ 的过渡矩阵及由基 到基 的 并求向量 在基 下的坐标. 而， ∴ 到基 由基 的过渡矩阵为 故，由基 到基 的过渡矩阵为 在基　　　　　下的坐标就是 设　在基　　　　　下的坐标为　　　　　　，则 所以　在基　　　　　下的坐标为　 例2　在P4中，求由基 到基 的过渡矩阵，其中 解：设 则有 或 ，