微积分D83平面和直线.ppt

第四节 一、平面方程 例1.求过三点 说明: 特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. （二）、两平面的相互关系 特别有下列结论： 内容小结 特别有: 解: 取已知平面的法向量 则直线的对称式方程为 直的直线方程. 为所求直线的方向向量. 垂 例9. 求过点(1,－2 , 4) 且与平面 2、直线与平面的交点 求L与Π的交点 做法：将直线方程写成参数方程代入平面方程， 求出交点处的参数值，再代入参数方程求得交点的坐标 例10. 求直线 与平面 的交点 . 提示: 化直线方程为参数方程 代入平面方程得 从而确定交点为（1，2，2）. （五）、平面束方程 定义： 的交线， 定理： 称（*)为双参数平面束方程 证明要点： （1）、（*）表示一张平面 （3）、过L的任何平面都包括在（*）所表示平面内 双参数平面束方程包括 单参数平面束方程： 不包含平面方程 不包含平面方程 说明： 一般若可确定某些平面不含其中，则平面束方程可设为单参数平面束方程 例11 求通过直线 且平行于直线 的平面π的方程 解： 代入消去λ得 为所求平面方程 例12 求通过直线 且与平面π： 垂直的平面方程 解法（一）： 设过直线L的双参数平面束方程为 故所求平面方程为 故所求平面方程为 解法（二）： ∴可设所求平面方程为： 故所求平面方程为 说明：此处不能用参数方程 解法三：用平面的一般方程做 解法四：用平面的点法式方程做 思考题1 求过点 且垂直于二平面 和 的平面方程. 解: 已知二平面的法向量为 取所求平面的法向量 则所求平面方程为 化简得 * * 一、平面方程 平面与直线 第八章 二、空间直线方程 三、线面的典型问题 ① 设一平面通过已知点 且垂直于非零向 称①式为平面?的点法式方程, 求该平面?的方程. 法向量. 量 则有 故 平面的矢量方程 注意：和平面垂直的向量都可取为平面的法向量 1、平面的点法式方程 即 解: 取该平面? 的法向量为 的平面 ? 的方程. 利用点法式得平面 ? 的方程 此平面的三点式方程也可写成 一般情况 : 过三点 的平面方程为 此式称为平面的截距式方程. 时, 平面方程为 分析:利用三点式 按第一行展开得 即 2、平面的一般方程 设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般方程 任取一组满足上述方程的数 则 显然方程②与此点法式方程等价, ② 的平面, 因此方程②的图形是 法向量为 定理：任何关于x,y,z的三元一次方程②都表示一张平面 特殊情形 ? 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; ? 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; ? A x+C z+D = 0 表示 ? A x+B y+D = 0 表示 ? C z + D = 0 表示 ? A x + D =0 表示 ? B y + D =0 表示 平行于 y 轴的平面; 平行于 z 轴的平面; 平行于 xoy 面 的平面; 平行于 yoz 面 的平面； 平行于 zox 面 的平面. 解: 因平面通过 x 轴 , 设所求平面方程为 代入已知点 得 化简,得所求平面方程 因此有 例3. 一平面通过两点 垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 . 解(一）: 设所求平面的法向量为 即 的法向量 约去C , 得 即 和 则所求平面 故 方程为 且 （二） ∵平面π的方程为x+y+z=0 故所求平面的法向量取为 利用法点式可得平面的方程为 即 二、空间直线方程 因此其一般式方程 1. 一般式方程 直线可视为两平面交线， (不唯一) 2. 对称式方程 故有 说明: (1)某些分母为零时, 其分子也理解为零. 设直线上的动点为 则 此式称为直线的对称式方程(或点向式方程，标准方程) 直线方程为 已知直线上一点 例如, 当 和它的方向向量 (2)和直线平行的非零向量都可取为直线的方向向量 3. 参数式方程 设 得参数式方程 : (3)若给定直线上两相异点 则 直线的方向向量可取为 直线L的矢量方程为 注意：直线方程的三种形式可相互转化 例4.用对称式及参数式表示直线 解：法一：(1）先在直线上找一点. （2）再求直线的方向向量 令 x = 1, 解方程组 ,得 交已知直线的两平面的法向量为 是直线上一点 . 故所给直线的对称式方程为 参数式方程为 解题思路: 先找直线上一点; 再找直线的方向向量. 法二： 由方程组得 由（2）得 由（1）得 解： 相交,求此直线方程 . 的方向向量为