微积分D93 第一型曲面积分.ppt

9. 3 第一型(对面积)曲面积分 9. 3. 2 第一型(对面积)曲面积分的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9章 9. 3. 1 问 题 的 引 入 9. 3. 3 第一型(对面积)曲面积分的计算 9. 3. 1 问 题 的 引 入 引 例: 类似求平面薄板质量的思想： 可得： 求其质量 M。 “大化小, 其中： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 表示曲面 Σ上的第 k 块小曲面； 表示第 k 块小曲面 的面积； 具有连续面密度函数 设非均匀的曲面形构件Σ ， 常代变, 乘积和, 取极限” 9. 3. 2 第一型(对面积)曲面积分的概念 定义 ： 是定义 任意分割Σ为 n 个小块 任意取点 表示 在曲面Σ上可积 ， 乘积 ，若极限 收敛， 该极限称为函数 在曲面 Σ上的第一型（关于面积）曲面积分。 并作和式 则称 函数 其中： 于Σ上的有界函数， 为被积函数； 的面积， 称 称Σ为积分（区域）曲面。 记 作 设 Σ为光滑可求面积的有界曲面， 则第一型 （关于面积）的曲面积分必收敛； ? 积分域的可加性： 则有： ? 被积函数的（可加）线性性： 在有界的光滑曲面Σ上 ? 积分的存在性： 若Σ是分片光滑（如分成两片光滑曲面） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （其中：α、β均为常数） 设函数 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分具有完全类似的性质： 连续， 9. 3. 3 第一型(对面积)曲面积分的计算 定 理 : 设 为一可求面积的有界光滑曲面 ， 在曲面Σ上连续， 则 若取Σ上任一点处的单法向量： 函数 例1. 其中：Σ是球面 被平面 所截的顶部曲面区域。 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 计算曲面积分 曲面Σ在 xoy 坐标面内的投影区域为： 曲面Σ上的单位法向量为： 思考: 若 ? 是球面 被平行平面 z =±h 截 出的上下两部分, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 2. 其中Σ是由平面 标面所围成的四面体的表面。 解: 上的部分， 与坐 I = 分别表示Σ在平面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 计算 则 设 例 3. 设曲面 计算 解: 与上半球面 的交线为 为上半球面夹于锥面间的部分， 它在 xoy 面上的投影域 为： 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 锥面 当 当 时， 时， 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: 计算结果如何 ? 故 若将被积函数改为： 例4. 解: 利用对称性可知重心的坐标: 而 用球坐标 思考: 例3 目录 上页 下页 返回 结束 求半径为R 的均匀半球壳 ? 的重心？ 设 ? 的方程为： 例 3 是否可用球面坐标计算 ? 试计算之。 例5. 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 计算 取球面坐标进行计算， 在球面坐标下： 曲面微元： 例6. 其中，? 为球面： 利用对称性可知 解: 半径为 利用重心公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 计算 显然球心为 例7. 其中 ：? 是介于平面 分析: 则 解: 或左、右两片， 其计算都较繁。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 计算 之间的圆柱面： 使用微元法， 取曲面微元为： 若将曲面分为前、后， 例8. 位于 xoy 面上方及平面 之下方那部分柱面 ? 的侧面积 S . 解: 取曲面微元： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求椭圆柱面 如图所示， 为方便计算，使用微元法 例9. 设距地球表面高度为 3600 km 的一同步轨道通讯卫星， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其运行的角速度与地球自转速度相同， 试计算该通讯卫星所 （地球半径 R = 6400 km） 解: 建立如图所示的坐标系， 卫星覆盖曲面 ? 的半顶角为? ， 其面积为 S ； 利用球坐标系计算， 设卫星所覆盖的地球表面区域 覆盖区域面积与地球表面积的比。 为Σ， 取曲面微元为： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为 由以上结果可知， 以上的面积, 故使用三颗相隔 角度的通讯卫星就几乎可以覆盖整个地球表面。 说明: 此卫星覆盖了地球 此题也可用二重积分计算S (见下册P109 例2) . 内容小结 1. 定义: 2. 计算: 设 则 (曲面的其他两种情况类似)