概率的乘法公式.docx

1.5概率的乘法公式 1.5.1条件概率 【问题1】 3张奖券中只有一张能抽奖，现分别由3名同学无放回的抽取，问最后一名同学抽到 奖券的概率是否比其他同学小？ 若抽到中奖券的概率用“厂表示，没有抽到的用“产表示，用MA)表示事件A中基木 事件的个数，那么所有可能抽取情况为^ = {YYY,YYY,YYY}9用B表示最后一名同学抽到 中奖奖券的事件，则B = {YYY},由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为 P(B)〃 P(B) 〃(B) _ 1 h(Q) - 3 【问题2】 如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率 又是多少？ 因为已经知道第一名同学没有抽到屮奖奖券，那么所有可能的抽取情况变为 心时丽},由古典概型可知，最后-名同学抽到中奖奖券的概率为雳冷不妨 记为 P{B | A) ? 显然，知道第一名同学的抽取结果，即知道了事件A的发生，会影响事件B发生的概率， 从而导致了 ? 【问题3】 对于上面的事件A和B,计算P(B | A)的一般想法是什么？ 既然已经知道了事件A的必然发生，所以只需局限在A发生的范围内考虑问题，在事 件A发生的情况下事件B发生，等价于事件A和事件B同时发生，即AB发生，对于古 典概型，由于组成事件A的各个基本事件发生的概率相等，因此其条件概率为 P(B|4) =匹也. ① 为了把条件概率推广到一般情形，我们对上述公式作如下变形: P(B I A) = n(AB) = MAB)/g = P(AB)~ n(A) ~ m(A)//?(Q) - P(A) 因此有P(B\A) =P(AB) 因此有 P(B\A) = P(AB) P(A) 这一式子已经不涉及古典概型，可以将它作为条件概率的推广定义. 一般地，设A, B为两个事件，且p(A)0,称 P(B\A) = ^^\ ② P(4) | 为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率(conditional probability). 一般地，把P(B\A)读作A发生的条件下B的概率。 条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即 OP(B|?1)1. 如果B和C是两个互斥事件，则 P(B u C | A) = P(B | A) + P(C | A)? 例1? 在5道题屮有3道理课题和2道文科题，如果不放回的依次抽取2道题，求: 第1次抽到理科题的概率； 第1次和第2次都抽到理科题的概率； 在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率。 【答案】设第1次抽到理科题为事件A,第2次抽到理科题为事件B,则第1次和第 2次都抽到理科题为事件AB. 从5道题中不放回的依次抽取2道的事件数为 ??(Q) = = 20. 根据分步乘法计数原理，斤(A) = ￡xA：=12,于是 因为n(AB) = A^=6,所以 （3）解法1由（1）（2）可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为 P(B\A) =P(AB)P(A)- P(B\A) = P(AB) P(A) - 3 一103 - 5 解法2因为n(AB) = 6 , n(A) = 12,所以 P(B\A) =n(AB)n(A) P(B\A) = n(AB)n(A) 6 _ 112~ 2 提升：在实际应用中，解法2是一种重要的求条件概率的方法。 例2. 一个家庭有两个小孩，假定生男、生女是等可能的，己知这个家庭有一个是女 孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是多少？ 【答案】一个家庭的两个小孩只有4中可能：｛两个都是男孩｝, ｛第一个是男孩，第 二个是女孩｝, ｛第一个是女孩，第二个是势孩｝, ｛两个都是女孩｝。由题目假定可知这4 个基本事件发生是等可能的，根据题意，设基本事件空间为其中一个是女孩JB■其 中一个是男孩。贝IJ Q=｛（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）｝ A=｛（男,女），（女，男），（女,女）｝ B=｛（男,男）,（男，女）,（女,男）｝ 问题是求在A发牛的情况下，事件B发牛的概率，即求P（B\A）. 法一：由上面分析可知“（A） = 3, n（AnB） = 2. 由公式①可得 P（B\A） = ^ 因此所求的条件概率为2。 3 2 法二：由上面分析可知P（A） =二，P（AcB） =—? 4 由公式②可得 2 7 因此所求的条件概率为兰。 3 例3?已知有10只产品，其屮6只只正品，4只次品，不放回的抽取两次 已知第一次抽到的是次品，问第二次抽到正品的概率； 已知第一次抽到的是正品，问第二次仍然抽到正品的概率； 二次都抽到正品的概率； 已知其中一次抽到的是正品，问另一次也抽到正品的概率； 【答案】根据题意得： 设正品编号为znz2,z3,z4,z5,z6,次品编号为G,C2,C3,C4,基本事件空间