运筹学11图与网络.ppt

第十一章 图与网络规划Graph Theory and Network Analysis 11.1 图与网络的基本概念 11.2 最短路问题 11.3 网络最大流问题 11.4 最小费用最大流问题 内容简介 是近几十年来运筹学领域中发展迅速、而且十分活跃的一个分支． 对实际问题的描述具有直观性 广泛应用于物理学、化学、信息论、控制论、计算机科学、社会科学以及现代经济管理科学等许多科学领域． 图与网络分析的内容十分丰富．本章只介绍图与网络的基本概念以及图论在路径问题、网络流问题等领域中的应用．重点讲明方法的物理概念、基本原理及计算步骤． 11.1 图与网络的基本概念 图的理论研究已有200多年的历史了．早期图论与“数学游戏”有着密切关系．所谓“哥尼斯堡七桥”问题就是其中之一． 11.1 图与网络的基本概念 当时有许多人都探讨了这个问题，但不得其解． 著名数学家欧拉（Euler）将这个问题简化为一个如右图所示图形．图4个点A、B、C、D表示两岸和小岛．两两点间连线表示桥． 11.1 图与网络的基本概念 于是问题转化为一笔画问题，即能否从某一点开始一笔画出这个图形，不许重复，最后回到原出发点． 欧拉否定了这种可能性． 原因是图中与每一个点相关联的线都是奇数条． 为此他写下了被公认为世界第一篇有关图论方面的论文（1736年） 11.1 图与网络的基本概念 1859年哈密尔顿提出了另一种游戏：在一个实心的12面体（见图）的20个顶点上标以世界上著名的城市名称，要求游戏者从某一城市出发，遍历各城市恰恰一次而返回原地，这就是所谓“绕行世界问题”． 11.1 图与网络的基本概念 作图，此问题变成在从某一点出发寻找一条路径，过所有20个点仅仅一次，再回到出发点． 解决这个问题可以按序号1—2—3—4一…一20—1所形成的一个闭合路径，并称此路径为哈密尔顿圈． 具有哈密尔顿圈的图称为哈密尔顿图． 11.1 图与网络的基本概念 由此可见，图论中所研究的图是由实际问题抽象出来的逻辑关系图． 这种图与几何中的图形和函数论中所研究的图形是不相同的． 这种图的画法具有一定的随意性，在保持相对位置和相互关系不变的前提下，点的位置不一定要按实际要求画，线的长度也不一定表示实际的长度．而且画成直线或曲线都可以． 通俗地说，这种图是一种关系示意图． 11.1 图与网络的基本概念 图的概念 所谓图，就是顶点和边的集合，点的集合记为V，边的集合记为E，则图可以表示为：G＝（V，E），点代表被研究的事物，边代表事物之间的联系，因此，边不能离开点而独立存在，每条边都有两个端点。 在画图时，顶点的位置、边和长短形状都是无关紧要的，只要两个图的顶点及边是对应相同的，则两个图相同。 图的表示 点与边 顶点数 集合V中元素的个数，记作p(G)。 边数 集合E中元素的个数，记作q(G)。 若e=[u,v]∈E，则称u和v为e的端点，而称e为u和v的关联边，也称u，v与边e相关联。 例如图中的图G，p(G)=6，q(G)=9， v1，v2是e1和e2的端点，e1和e2都是v1和v2的关联边。 点边关系 若点u和v与同一条边相关联，则u和v为相邻点；若两条边ei和ej有同一个端点，则称ei与ej为相邻边。 例如在图中v1和v2为相邻点， v1和v5不相邻；e1与e5为相邻边，e1和e7不相邻。 简单图 若一条边的两个端点是同一个顶点，则称该边为环；又若两上端点之间有多于一条边，则称为多重边或平行边。 例如图的e8为环，e1，e2为两重边，e4，e5也是两重边。 含有多重边的图称作多重图。 无环也无多重边的图称作简单图。 图的次 次 点v作为边的端点的次数，记作d(v)，如图中，d(v1)=5, d(v4)=6等 端点次为奇数的点称作奇点；次为偶数的点称作偶点。 次为1的点称为悬挂点，与悬挂点连接的边称作悬挂边； 次为0的点称为孤立点。 图中的点v5即为悬挂点，边e9即为悬挂边，而点v6则是弧立点。 定理 若图G中所有点都是孤立点，则称图G为空图。 定理1 所有顶点的次的和，等于所有边数的2倍。即 定理2 在任一图中，奇点的个数必为偶数。 设V1和V2分别是图G中次数为奇数和偶数的顶点集合。由定理1有 链 由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边序列称为链。 v0称为链的起点， vn称为链的终点。 若v0 ≠vn则称该链为开链，反之称为闭链或回路。 简单链 若链中所含的边均不相同，则称为简单链；若点均不相同，则称为初等链或通路。 除起点和终点外点均不相同的闭链，称为初等回路或称为圈。 例如图中 圈 若链中所含的边均不相同，则称为简单链；若点均不相同，则称为初等链或通路。除起点和终点外点均不相同的闭链，称为初等回路或称为圈。 例如图中