浙江大学城市学院微积分ii(丙)练习册全部答案.doc

编号 班级 姓名 - PAGE 39 - PAGE 1 PAGE 39 第八章 微分方程初步 微分方程的概念 验证函数是否为微分方程的解． 解： 代入方程： 因此是解。 2．验证由方程所确定的函数为微分方程的通解． 解：对两边求导，有 ， 即有　　，是解 有因为解中一个任意常数，任意常数个数与微分方程阶数相同， 因此是通解。 3．验证函数是微分方程的通解，并求满足初始条件的特解． 解： 　将上式代入方程左边有： ， 有因为解中２个任意常数，任意常数个数与微分方程阶数相同， 因此是通解。 由 得：　 特解： 第二节 一阶微分方程 1、求下列可分离变量微分方程的通解（或特解） （1） 解： （2） 解：　 即为通解 （3） 解: 由，得　　 （4）． 解: 由，得，　。 2、求解下列齐次变量型微分方程 （1） 解: ,令 得: , 即有 . （2） 解　由初始条件，只要考虑在附近，即时解的情形， 令 代入方程则为： 　　　 　　 由，得 代入，化简可得 3、求下列一阶线性微分方程的通解（或特解）． (1) 解： 　 (2)　 解： 由初始条件，得 特解为 (3)　 解:　 ． 所以，解为 ４、用适当的变量代换求解下列方程. （１） 令则， 此时　　 　　　　　　 ， 原方程变为　　　　　　　　　　， 此为可分离变量微分方程，易得此方程的通解为， 从而原方程的通解为　　　． （２） 解：原方程即为,可得 　 ， 令　　， 则原方程变为 　　， 此为一阶线性微分方程，用公式法得通解为 从而原方程的通解为 ． 第三节 可降阶的二阶微分方程 求下列微分方程的通解（或特解）： 1．； 解　所给方程是 型，只需对方程两边连续积分两次，即可得通解． ， ２． 解　所给方程是 型，只需对方程两边连续积分两次，即可得通解． ， ， 3． 解：所给方程是型，令，代入方程得：　　　， 由　　得， ，即 ， 由得， 4． 解：　所给方程是型，令，代入方程并化简得：　　　　 由，　得　 　，即　， 由，得　 ５.　　 解：所给方程是型，令，代入方程得：　　　， 　　　， 　 所以　 　 6． ； 解：所给方程是型， 令，得， 代入方程得：　　　， 　　由　得， 　， 由　得， 所以　 . 第四节二阶线性微分方程的解的结构、 第五节 二阶常系数齐次线性微分方程 1、验证都是方程的解，并写出该方程的通解． 解　：， 因此是方程的解，同理可证是方程的解， 方程的通解： 2、若二阶非齐次线性方程的三个解为试写出该非齐次线性方程的通解（提示：非齐次线性方程的二个特解之差为对应的齐次线性方程的一个特解）． 解：由于是非齐次线性方程的二个特解，因此它们之差 也是对应的齐次线性方程的一个特解， 同理　也是对应的齐次线性方程的一个特解， 对应的齐次线性方程的通解为：； 非齐次线性方程的通解为 3、求下列微分方程的通解（或特解）： (1) ; 解：特征方程为：　 　　特征解：　 方程的通解为 (2) , 解：特征方程为：　 　　特征解：　 方程的通解为 由可得　 方程的特解为 (3) 解：特征方程为：　 　　特征解：　 方程的通解为 (4) 解：特征方程为：　 　　特征解：　 方程的通解为 （5） 解：特征方程为：　,　特征解：　 方程的通解为 由,可得　 方程的特解为 (6) 试建立二阶常系数齐次线性微分方程。已知其系数是实数，且其特征方程的一个根是，并写出微分方程的通解。 解：方程的另一根为， 设特征方程为：　 则由韦达定理， 齐次线性微分方程为：　， 方程的通解为  第六节 二阶常系数非齐次线性微分方程 1．求下列非齐次方程的通解或特解： 　 (1) ， 解：对应的齐次方程的特征方程为：, 　特征解： 齐次方程方程的通解为 设非齐次方程的一个特解为， 代入方程得：　 　得：　 非齐次方程的通解为： （２）， 解：对应的齐次方程的特征方程为：,　特征解： 齐次方程方程的通解为， 由于不是特征根，可设非齐次方程的一个特解为 ，　 应满足： 即：　　　 　得：　 非齐次方程的通解为： （3） 解：对应的齐次方程的特征方程为：,　特征解： 齐次方程方程的通解为， 由于是特征单根，可设非齐次方程的一个特解为 ，　 应满足： 即：　　　　所以　　　 非齐次方程的通解为： 所以 由初始条件可得 　， 特解为：。 （4）， 解： 对应的齐次方程的特征方程为：, 　特征解：， 齐次方程