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2.3.1
知识导图
学法指导
1.直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情况,对这种特殊位置关系的认识,既可以从直线与平面相交所成的角为90°的角度来讨论,又可以从已有的线线垂直关系出发进行推理和论证.
2.在线面垂直的判定定理中,有非常重要的限制条件“两条相交直线”,这既为证明指明了方向,同时又有很强的制约性,使用时一定要注意体现逻辑推理的规范性.
3.求直线与平面所成的角的关键是作直线在平面上的射影.
高考导航
1.考查线线、线面垂直关系的判定,常以选择题的形式出现,也可以是解答题的某一问,分值5分.
2.考查直线与平面所成的角,常出现在文科卷中,以解答题的一问的形式呈现,分值5分.
3.考查与其他知识的综合问题,如求体积、参数、比值等,分值5~6分.
知识点一 直线与平面垂直
直线与平面垂直
定义
如果直线l与平面α内的所有直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.直线l叫作平面α的垂线,平面α叫作直线l的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫作垂足
画法
通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直,如图
判定定理
文字表述:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.
符号表述:eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a,l⊥b,a∩b=A,a?α,b?α))?l⊥α
1.直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形.
2.注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”.
3.判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语,此处强调“相交”,若两条直线平行,则直线与平面不一定垂直.
知识点二 直线与平面所成的角
直线和平面所成的角
定义
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫作这条直线和这个平面所成的角.
当直线与平面垂直时,它们所成的角是90°.当直线与平面平行或在平面内时,它们所成的角是0°
范围
0°≤θ≤90°
画法
如图,∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角
把握定义应注意两点:①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的;②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段.
[小试身手]
1.判断下列命题是否正确. (正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若直线l垂直于平面α,则l与平面α内的直线可能相交,可能异面,也可能平行.( )
(2)若a∥b,a?α,l⊥α,则l⊥b.( )
(3)若a⊥b,b⊥α,则a∥α.( )
答案:(1)× (2)√ (3)×
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与BC1
A.平面DD1C1C B.平面A1
C.平面A1B1C1D1 D.平面A1
解析:由于易证BC1⊥B1C,又CD⊥平面BCC1B1,所以CD⊥BC1.因为B1C∩CD=C,所以BC1⊥平面A1B1
答案:B
3.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于( )
A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBC D.平面ABC
解析:∵OA⊥OB,OA⊥OC,OB∩OC=O,OB,OC?平面OBC,∴OA⊥平面OBC.
答案:C
4.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )
A.若l⊥α,l∥m,则m⊥α B.若l∥α,m?α,则l∥m
C.若l⊥m,m?α,则l⊥α D.若l∥α,m∥α,则l∥m
解析:易知A正确.B项,l与m可能异面,也可能平行.C项,当l与α内两条相交直线垂直时,才能判定l⊥α.D项,l与m可能平行、异面或相交.
答案:A
类型一 直线与平面垂直定义的理解
例1 已知平面α及α外一条直线l,给出下列命题:
①若l垂直于α内两条直线,则l⊥α; ②若l垂直于α内所有直线,则l⊥α;
③若l垂直于α内任意一条直线,则l⊥α; ④若l垂直于α内两条平行直线,则l⊥α.
其中,正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】 根据直线与平面垂直的定义可知,②③正确,①④不正确.
【答案】 C
命题是否正确,一般先考虑能否利用定义来判断.
方法归纳
直线与平面垂直要求直线与平面内的任一直线都垂直,“任一直线”与“所有直线”表示相同的含义.但“任一直线”与“无数条直线”含义不一样.
跟踪训练1 如果一条直线垂直于一个平面内的:①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是________(填序号).
解析:根据直线与平面垂直的判定定理,平面内这两条直线必须是相交的,①③④中给定的两直线一定相交,能保证该直线与平面垂直.而②中梯形的两边可能是上、下底边,它们互相平行,不满足定理条件.
答案:①③④
用定义判断时一定要弄清两直线是否相交.
类型二 证明直
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