2019-2020年苏教版数学选修2-2讲义：模块复习课及答案.doc

PAGE 一、导数及其应用 1．导数的概念 (1)定义：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率Δx→0时，eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx)称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数． (2)几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0))处的切线斜率． 2．几个常用函数的导数 (1)若y＝f(x)＝c，则f′(x)＝0. (2)若y＝f(x)＝x，则f′(x)＝1. (3)若y＝f(x)＝x2，则f′(x)＝2x. (4)若y＝f(x)＝eq \f(1,x)，则f′(x)＝－eq \f(1,x2). (5)若y＝f(x)＝eq \r(x)，则f′(x)＝eq \f(1,2\r(x)). 3．基本初等函数的导数公式 (1)若f(x)＝C(C为常数)，则f′(x)＝0. (2)若f(x)＝xα(α为常数)，则f′(x)＝αxα－1. (3)若f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos_x. (4)若f(x)＝cos x ，则f′(x)＝－sin_x. (5)若f(x)＝ax，则f′(x)＝axln_a. (6)若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex. (7)若f(x)＝logax，则f′(x)＝eq \f(1,xln a). (8)若f(x)＝ln x，则f′(x)＝eq \f(1,x). 4．导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f?x?,g?x?)))′＝eq \f(f′?x?g?x?－f?x?g′?x?,g2?x?). 5．复合函数的求导法则 (1)复合函数记法：y＝f(g(x))． (2)中间变量代换：y＝f(u)，u＝g(x)． (3)逐层求导法则：y′x＝y′u·u′x. 6．函数的单调性、极值与导数 (1)函数的单调性与导数 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减． (2)函数的极值与导数 ①极大值：在点x＝a附近，满足f(a)≥f(x)，当x＜a时，f′(x)＞0，当x＞a时，f′(x)＜0，则点a叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的极大值； ②极小值：在点x＝a附近，满足f(a)≤f(x)，当x＜a时，f′(x)＜0，当x＞a时，f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值． 7．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值． (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个为最小值． 二、数系的扩充与复数的引入 1．复数的有关概念及分类 (1)代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)，其中实部为a，虚部为b； (2)共轭复数为z＝a－bi(a，b∈R)． (3)复数的分类 eq \a\vs4\al(复数a＋bi,?a，b∈R?)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(实数?b＝0?\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(有理数\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(整数,分数)),无理数?无限不循环小数?)),虚数?b≠0?\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(纯虚数?a＝0?,非纯虚数?a≠0?)))) ①若 z＝a＋bi(a，b∈R)是实数，则z与eq \x\to(z)的关系为z＝eq \x\to(z). ②若z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数，则z与eq \x\to(z)的关系为z＋eq \x\to(z)＝0(z≠0)． 2．与复数运算有关的问题 (1)复数相等的充要条件 a＋bi＝c＋di?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝c，,b＝d))(a，b，c，d∈R)． (2)复数的模 复数z＝a＋bi的模|z|＝eq \r(a2＋b2)，且z·eq \x\to(z)＝|z|2＝a2＋b2. (3)复数的四则运算，若两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R) ①加法：z1＋z2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i； ②减法：z1－z2＝(a1－a2)＋(b1－b2)i； ③乘法：z1·z2＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i； ④除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(?a1a2＋b1b2?＋?a2b1－a1b2?i,a\o\al(2,2)＋b\o\al(2,2))＝eq \f(a1a2＋b1b2,a\o\al(2,2)＋