2019-2020年苏教版数学选修2-2讲义：第1章+1.4+导数在实际生活中的应用及答案.doc

PAGE 1.4　导数在实际生活中的应用 学 习 目 标 核 心 素 养 1.能应用导数解决实际问题．(重点) 2．审清题意，正确建立函数关系式．(难点) 3．忽视变量的实际意义，忽略函数定义域．(易错点) 1.通过分析实际生活问题，建立数学模型，培养数学建模素养． 2．通过利用导数解决问题，提升数学运算素养. 1．导数的实际应用 导数在实际生活中有着广泛的应用，如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决． 2．用导数解决实际生活问题的基本思路 思考：解决生活中优化问题应注意什么？ [提示]　(1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域． (2)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去，如：长度、宽度应大于0，销售价为正数等． 1．已知某生产厂家的年利润y(单位： 万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－eq \f(1,3)x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 (　　) A．7万件　　　 B．9万件 C．11万件 D．13万件 B　[设y＝f(x)， 即f(x)＝－eq \f(1,3)x3＋81x－234. 故f′(x)＝－x2＋81.令f′(x)＝0，即－x2＋81＝0， 解得x＝9或x＝－9(舍去)． 当0＜x＜9时，f′(x)＞0，函数y＝f(x)单调递增； 当x＞9时，f′(x)＜0，函数y＝f(x)单调递减． 因此，当x＝9时，y＝f(x)取最大值． 故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．] 2．做一个容积为256 m3 4　[设底面边长为x m，高为h m，则有x2h＝256，所以h＝eq \f(256,x2).所用材料的面积设为S m2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·eq \f(256,x2)＋x2＝eq \f(1 024,x)＋x2.S′＝2x－eq \f(1 024,x2)，令S′＝0，得x＝8， 因此h＝eq \f(256,64)＝4(m)．] 3．某件商品的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为______元时，利润最大． 115　[利润为S(x)＝(x－30)(200－x) ＝－x2＋230x－6 000， S′(x)＝－2x＋230， 由S′(x)＝0，得x＝115，这时利润达到最大．] 面积、体积的最值问题 【例1】　请你设计一个包装盒，如图，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)． (1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？ (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． [思路探究]　弄清题意，根据“侧面积＝4×底面边长×高”和“体积＝底面边长的平方×高”这两个等量关系，用x将等量关系中的相关量表示出来，建立函数关系式，然后求最值． [解]　设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm. 由已知得a＝eq \r(2)x，h＝eq \f(60－2x,\r(2))＝eq \r(2)(30－x)，0＜x＜30. (1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800， 所以当x＝15时，S取得最大值． (2)V＝a2h＝2eq \r(2)(－x3＋30x2)(0x30)， V′＝6eq \r(2)x(20－x)． 由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20. 当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0. 所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值． 此时eq \f(h,a)＝eq \f(1,2)，即包装盒的高与底面边长的比值为eq \f(1,2). 1．解决面积、体积最值问题的思路 要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值． 2．解决导数在实际应用时应注意的问题 (1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域； (2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f′(x)＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较． 1．将一张2×6 m 的矩形钢板按如图所示划线，要求①至⑦全为矩形，且其中①与③，②与④分别是全等的矩形，且⑤＋⑥＝⑦，沿线裁去阴影部分，把剩余部分焊接成一个以⑦为底，⑤⑥为盖的水箱，设水箱的高为