初 等 矩 阵 的 应 用.doc

学 士 学 位 论 文 BACHELOR ’S THESIS PAGE PAGE 7 　　　　 编号 　　　　　　　　　　　　　　 　　　 学士学位论文 初 等 矩 阵 的 应 用 学生姓名： 阿依努尔.玉苏甫 学 号： 20060105009 系 部： 数学系 专 业： 信息与计算科学 年 级： 2006年级7班 指导教师： 阿布都瓦克.玉奴司 完成日期： 2011 年 5 月 1 日 学 士 学 位 论 文 BACHELOR ’S THESIS 摘 要 本文主要是通过建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系和实际例子，进一步体现出矩阵的初等变换与初等矩阵之间的密切关系，并且在这个基础上介绍初等矩阵的六种应用. 关键词：矩阵；初等变换；初等矩阵；可逆矩阵 目　录 TOC \o 1-3 \u 摘 要 1 引言 1 1.基本概念及基本定理 1 1.2.1 互换两行或列 2 1.2.2 以数乘某行或列 3 1.2.3 以数乘某行(列)加到另一行(列)上去 3 2.主要结果 4 2.1初等矩阵在求逆阵的应用 4 2.2 初等矩阵在求矩阵秩的应用 6 2.3初等矩阵求出或中的应用 7 2.4 初等矩阵在解方程组中的应用 9 2.5 初等矩阵在确定向量组的线性关系的应用 10 2.6 初等矩阵在矩阵的三角分解()中的应用 10 总 结 12 参考文献 13 致 谢 14 引言 初等矩阵与矩阵的初等变换密切相关.矩阵的初等变换是矩阵的一种基本变换，应用广泛，并且三种初等变换都有一个与之相应的初等矩阵，即互换两行或列，以数乘某行或列，以数乘某行（列）加到另一行（列）上去. 利用初等矩阵与矩阵的初等变换之间的关系，本文主要介绍初等矩阵的六种应用；1.初等矩阵在求逆矩阵上的应用；2.初等矩阵在求矩阵秩的应用；3.初等矩阵求出或中的应用；４.初等矩阵在解方程组中的应用；５.初等矩阵在确定向量组的线性关系中的应用；６.初等矩阵在矩阵三角分解（LU）分解中的应用；通过举例使得对初等矩阵的应用的认识更加深刻. 1.基本概念及基本定理 定义1.1 一个矩阵的行（列）初等变换是指对矩阵施行的下列变换 1）交换矩阵的某两行（列）； 2）用一个非零的数乘矩阵的某一行（列），即用一个非零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素； 3）给矩阵的某一行（列）乘以一个数后加到另一行（列）上，即用某一个数乘矩阵某一行（列）的每一个元素后加到另一行（列）的对应元素上. 把上述三种初等变换分别叫做矩阵的第一种，第二种和第三种行（列）初等变换. 一个很自然的问题是，给定一个矩阵，通过若干次初等变换可把化为一个什么样形状简单的矩阵呢?下述定理给我们一个完美的回答. 定理1.1 设是矩阵  通过行初等变换和第一种列初等变换能把化为如下形式 ， 进而再用若干次第三种列初等变换可化为如下形式 ， 这里. 定义1.2 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.　　　　　显然,初等矩阵都是方阵,每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵,即三种初等变换对应着三种初等方阵. 1.2.1 互换两行或列 互换中第两行，即，得初等方阵 1.2.2 以数乘某行或列 以数乘E的第行，得初等矩阵 第行 . 1.2.3 以数乘某行(列)加到另一行(列)上去 以乘的第行加到第行上，[或以乘的第列加到第列上]， . 利用矩阵乘法的定义，立即可以得到 定理1.2　设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵. 不难看出初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵.事实上，变换的逆变换是其本身，则；变换的逆变换为，则 ；变换的逆变换为，则. 定理1.3　 设为可逆方阵，则存在几个初等方阵，使. 推论 矩阵的充分必要条件是存在阶可逆方阵及可逆方阵，使. 2.主要结果 2.1初等矩阵在求逆阵的应用 当时，由，有，及， 即对 矩阵施行初等行变换，当把变成时，原来的就变. 这种计算格式也可以用来判断某个矩阵是否可逆，当我们将化为行阶梯形