函数的概念初等函数经济学中常见函数.ppt

* 画画图就一目了然. 例 我们以后将运用微积分的方法研究函数的单调性。 定理 在关于坐标原点对称的区间 I 内： 两个偶(奇)函数之和仍是一偶(奇)函数。 两个偶(奇)函数之积均为一个偶函数。 一个偶函数与一个奇函数之积是一个奇函数。 定理 的形式。 在关于坐标原点对称的区间 I 内有 定义的任何一个函数 f ( x )，均可表示为 区间 I 内的一个偶函数与一个奇函数之和 四、函数的有界性定义:?正数M,?x∈D, | ?(x) |≤M则称?(x)在D内有界. 否则称?(x)在D内无界.(图)注：此处D 既可以是函数的整个定义域，也可以是定义域的一部分 例: y=1/x,(0,1),[1,2),(1, +∞) y=sinx x∈R o y=–M y=M x y y= ?(x) 如何证明或判断函数无界？ 提一个问题： 证明或判断无界，通常依据: 函数 y = f (x) 在区间 I 上无界， 则不论 M 0 的值取得多么大， 总 使得 | f ( x0 ) | M 成立。 易知： 例 解 在其定义域内是无界的。 故函数 在任何一个有限区间内有界。 反 函 数 原函数与反函数之间的关系： 1。定义域、值域互换 2。图象关于直线y = x对称. 3。原函数与反函数有相同的增减性 一个函数存在反函数的充要条件是自变量因变量是一一对应的. 注意： y=?(x) 和x= ??1(y) 表示变量x和y之间的同一 函数关系，而y= ??1(x )是x= ??1(y)中将x，y交换得 到的， y=?(x) 的反函数是y= ??1(x )而不是x= ??1(y ) 例1 求y=2x+1的反函数。 想一想： y=2x+1， 三个函数中，哪些是同一函数，哪些函数关于直线 y = x 对称 例2 考察函数y=x2 是否存在反函数。 解题方法 例3 讨论函数y=sinx的反函数 。 解 因为函数y=sinx 在x∈(-∞,+∞) 不是单调函数，所以它没有反函数。 但是，对于函数y=sinx， x∈ [-?/2,?/2] ，它在该区间上严格单调增加，所以它是有反函数的。并把它记为y=arcsinx，其定义域为[-?/2,?/2] ，值域为[-1,1] 。 函数y=sinx在区间[?/2,3?/2] 及区间[?,2?] 上存在反函数吗，为什么？若存在，求反函数。 想一想： 复合函数 设有映射 及 的每一个 x 所对应的 u 值，都属于 f (u) 的定义域 Df ， 如果对于映射 的定义域 ( 或定义域的一部分 )中 那么， 将 代入 消去 u 后, 就有 其中，u 称为中间变量。 与 称之为函数 复合而成的复合函数。 例11 求下列函数的复合函数 (3) y=arcsinu, u= 2+x2 因u=2+x2 的值域为{x|u≥2}不能使 y=arcsinu 有意义, 故它们不能复合成一个复合函数. 复合 将几个简单函数(基本初等函数或由基本初等函数与常数的四则运算所得到的多项式函数)由里到外可复合成一个复合函数,另外也可对复合函数由外到里的进行分解为几个简单函数。 例12 指出下列函数是由哪些基本初等函数或多项式函数复合而成的，并求该函数的定义域. 分解、以及定义域 (1)y=sin2x, (2)y=cosx3, (3)y=ln(x+2x), (4)y=arcsin(1-x2) 课堂练习 --------总结解题方法 例15 解 (1) 常函数 y = c (2) 幂函数 y =xα (3) 指数函数 y=ax (a0) (4) 对数函数 y=logax a0,a≠1,x0 (5) 三角函数 y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx, y=secx, y=cscx 初 等 函 数 (6) 反三角函数 y=arcsinx, y=arccosx, y=arctanx, y=arccotx 要求：应熟练掌握其表达式、定义域、值域、几何 特性、常见公式、图象及性质 注意：多项式函数 (an, an-1,…,a0都是常数)和有理分式函数 (其中P(x)和Q(x)都是多项式)是最简单的初等函数，虽然它们都不飞行属于六种基本初等函数，但由于它们的形式比较简单，一般不再把它们分解开来研究，可以和六种基本初等函数一起作为分析其它复杂的初等函数的基础。 三、 初等函数 定义7 由基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合所得到的函数为初等函数