数值分析23 非线性方程的数值方法.ppt

1. solve 求方程的符号解 solve(F, x)表示对方程F的指定变量x求解。这里F是 符号方程，x是要求的未知量。 例 求方程 的所有根，a , b是常数。 Matlab函数 解 F= x^2-a*x-4*b; z= solve(F,x) z = 1/2*a+1/2*(a^2+16*b)^(1/2) 1/2*a-1/2*(a^2+16*b)^(1/2) 2. 对于一般一元方程F（x）=0，Matlab有数值求根函数 fzero．其命令形式为z=fzero( ‘F’, x0, tol ) , 表示求方程在x0附近的数值解。F 是函数名，x0是根的初始近似．初值x0的选择对结果有很大影响， tol是精度，可默认为eps。 例 求方程 在1附近的根。 Matlab函数 X= fzero( x*sin(x)-1,1) X=1.1142 P279-----2 , 3 （1）写出解 迭代格式； （2）证明此迭代格式是线性收敛的。 习题 P322-----3,6 习题八 数值分析 （2）对任何初值 ，有 将此 看成新的迭代初值，则由（1）可知，由迭代公式 所产生的序列 ,都收敛于方程 的根。 数值分析 例：求解方程 ，可以构造一个迭代格式 其中c为非零的常数， （1）当c取何值时，由 产生的迭代序列收敛到 . (2)c取何值时收敛最快？ c取 时收敛最快？ 迭代法收敛阶 显然 ， 越大，数列收敛的越快。所以，迭代法的收敛阶是对迭代法收敛速度的一种度量。 则称数列 为 阶收敛，也称相应的迭代法为 阶方法。当 且 时，称数列 为线性收敛.当 时，称数列 平方收敛（或二阶收敛）.当 时，称数列 为超线性收敛。 设数列 收敛于 ,令误差 ,如果存在某个实数 及正常数 ，使 定义8-4 二、 牛顿（Newton）迭代法及其变形 1、牛顿迭代法 任取初始值 ， 上过点 的切线方程为： 与 轴交于点 用切线代替曲线，用 线性函数的零点作为 f(x)的零点的近似值。 1、牛顿迭代法 过点 的切线方程为 与 轴交于点 如此下去得牛顿迭代公式: 用切线代替曲线，用 线性函数的零点作为 f(x)的零点的近似值。 （收敛的充分条件）设 f ?C2[a, b]，若 (1) f (a) f (b) 0；(2) 在整个[a, b]上 f ”不变号且 f ’(x) ? 0； (3) 选取 x0 ? [a, b] 使得 f (x0) f ”(x0) 0； 则Newton’s Method产生的序列{ xk } 收敛到f (x) 在 [a, b] 的唯一根。 根唯一 产生的序列单调有界，保证收敛。 定理 y x 0 b a x0 y x 0 b a x0 y x 0 b a x0 y x 0 B a x0 例 　用迭代法求 在隔根区间[1.4,1.5] 内的根，要求准确到小数点后第4位。 （1）牛顿迭代公式为 （2） 当 时有， 因 ,故取 ,牛顿迭代法收敛。 局部收敛 由 Taylor 展开： （2） 由定义8-3，牛顿迭代法平方收敛。 注：在单根 附近收敛快，是平方收敛的． 算法8-4（牛顿迭代法） function [y,k]=newton(fname,dfname,x0, tol,N,m) % 输入　初值x0, 最大迭代步数N, 误差限tol，m=1为牛顿迭代法，m1为修改的牛顿迭代法。 % 输出 近似根y, 迭代次数k ． y=x0;x0=y+2* tol;k=0; while abs(x0-y) tol kN k=k+1; x0=y; y=x0-m*fname(x0)/dfname(x0)