人教版高中数学选修4-4课件2.1曲线的参数方程 第二课时.2.ppt

(2)设x=3+2cosφ,y=2sinφ, 则x+y=3+2cosφ+2sinφ 所以x+y的取值范围是 ②把x=2t代入方程,得到 于是y2=1-t2, 即 .因此,方程 的参数方程是 【方法技巧】求曲线的参数方程的方法 (1)如果已知曲线的普通方程,根据所选参数可利用代入法确定其参数方程. (2)求动点的轨迹的参数方程时,应先根据题意选择适当的参数,利用已知条件求参数方程. 【变式训练】1.圆x2+y2+4x-6y=0的参数方程为______. 【解析】圆x2+y2+4x-6y=0变为(x+2)2+(y-3)2=13, 即 令 则 令 得 故圆x2+y2+4x-6y=0的参数方程为 答案: 2.把下面曲线的普通方程化为参数方程. 设x=acos2φ,φ为参数. 【解析】把x=acos2φ代入普通方程 得 所以 所以y=a(1-|cosφ|)2, 所以普通方程 化为参数方程为 类型三　参数方程与普通方程互化的应用 【典例】已知x,y满足x2+(y-1)2=1,求: (1)3x+4y的最大值和最小值. (2)(x-3)2+(y+3)2的最大值和最小值. 【解题探究】典例中方程表示的曲线形状是什么?曲线的参数方程是什么? 提示:方程表示圆,参数方程为 【解析】由圆的普通方程x2+(y-1)2=1得圆的参数方程 为 (1)3x+4y=3cosθ+4sinθ+4=4+5sin(θ+φ), 其中 且φ的终边过点(4,3). 因为-5≤5sin(θ+φ)≤5,所以-1≤4+5sin(θ+φ)≤9, 所以3x+4y的最大值为9,最小值为-1. (2)(x-3)2+(y+3)2=(cosθ-3)2+(sinθ+4)2 =26+8sinθ-6cosθ=26+10sin(θ+φ). 其中tanφ= ,且φ的终边过点(4,-3). 因为-10≤10sin(θ+φ)≤10, 所以16≤26+10sin(θ+φ)≤36, 所以(x-3)2+(y+3)2的最大值为36,最小值为16. 【延伸探究】 1.若本例条件不变,求 的取值范围. 【解析】方法一:由于 (θ为参数) 所以 所以sinθ-kcosθ=k-3, 即 所以 依题意,得 所以 解得 所以 的取值范围是 方法二:由于 所以问题可以看作圆x2+(y- 1)2=1上的动点P(x,y)与定点A(-1,-2)的连线的斜率. 设直线y+2=k(x+1)与圆相切,则圆心(0,1)到直线kx- y+k-2=0的距离为1, 即 解得 若过A(-1,-2)的直线的斜率不存在时,显然与圆相切, 结合图形,得 的取值范围是 2.若本例条件变为:已知P(x,y)是极坐标方程ρ= 2sinθ表示的曲线上的任意一点,如何求3x+4y的最大值和最小值? 【解析】极坐标方程ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ,直角坐标方程为x2+(y-1)2=1,得圆的参数方程为 所以3x+4y=3cosθ+4sinθ+4 =4+5sin(θ+φ)∈[-1,9], 所以3x+4y的最大值为9,最小值为-1. 【方法技巧】求有关最值或取值范围问题的技巧 (1)求与圆上的动点有关的最大值、最小值或取值范围问题,常常利用圆的参数方程,将问题转化为三角函数的最大值、最小值或取值范围解决,这样可使问题变得简便. (2)形如y=asinθ+bcosθ的三角函数,通常转化为y= 的形式求最大值、最小值. 【变式训练】1.圆x2+y2=1上任意一点的坐标为(x,y),则xy的最大值为________. 【解析】圆x2+y2=1的参数方程为 则 所以xy的最大值为 答案: 2.(2015·长沙高二检测)在直角坐标平面内,以坐标原 点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点M 的极坐标为 曲线C的参数方程为 (α为参数)求点M到曲线C上的点的距离的最小值. 【解析】由点M的极坐标 得直角坐标为(4,4), 由曲线C的参数方程 (α为参数)得普通方 程为(x-1)2+y2=2,圆心坐标为C(1,0), =5. 所以点M到曲线C上的点的距离的最小值为 3.(2016·成都高二检测)在直角坐标系xOy中,直线l的 方程为x-