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2015级《极坐标和参数方程》真题卷
班级_____________姓名______________
1.在直角坐标系中,曲线的参数方程为.以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为 .
(Ⅰ)写出的普通方程和的直角坐标方程;
(Ⅱ)设点P在上,点Q在上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.
2.在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
(Ⅰ)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
(Ⅱ)直线l的参数方程是 QUOTE (t为参数),l与C交于A,B两点,∣AB∣= QUOTE 10 ,求l的斜率.
3.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 QUOTE (t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.
(Ⅰ)说明C1是哪种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.
4.在直角坐标系中,直线:=2,圆:,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求,的极坐标方程;
(Ⅱ)若直线的极坐标方程为,设与的交点为, ,求的面积.
5.在直角坐标系中,曲线(为参数,),其中,在以为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线,曲线.
(Ⅰ).求与交点的直角坐标;
(Ⅱ).若与相交于点,与相交于点,求的最大值.
6.已知曲线,直线:(为参数).
( = 1 \* ROMAN I)写出曲线的参数方程,直线的普通方程;
( = 2 \* ROMAN II)过曲线上任意一点作与夹角为的直线,交于点,的最大值与最小值.
7.在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆的极坐标方程为.
(1)求得参数方程;
(2)设点在上,在处的切线与直线垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定的坐标.
8.已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ。
(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)
9.已知动点,Q都在曲线C:(β为参数)上,对应参数分别为
与(0<<2π),M为PQ的中点。
(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程
(Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点。
10.已知曲线的参数方程是,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线的坐标系方程是,正方形的顶点都在上,且依逆时针次序排列,点的极坐标为
(1)求点的直角坐标;
(2)设为上任意一点,求的取值范围.
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参考答案
1.(Ⅰ)的普通方程为,的直角坐标方程为;(Ⅱ).
【解析】
试题分析:(Ⅰ)利用同角三角函数基本关系中的平方关系化曲线C1的参数方程普通方程,利用公式与代入曲线C2的极坐标方程即可;(Ⅱ)利用参数方程表示出点的坐标,然后利用点到直线的距离公式建立的三角函数表达式,然后求出最值与相应的点坐标.
试题解析:(Ⅰ)的普通方程为,的直角坐标方程为.
(Ⅱ)由题意,可设点的直角坐标为,因为是直线,所以的最小值即为到的距离的最小值,.
当且仅当时,取得最小值,最小值为,此时的直角坐标为.
【考点】椭圆的参数方程、直线的极坐标方程
【技巧点拨】一般地,涉及椭圆上的点的最值问题、定值问题、轨迹问题等,当直接处理不好下手时,可考虑利用椭圆的参数方程进行处理,设点的坐标为,将其转化为三角问题进行求解.
2.(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
试题分析:(Ⅰ)利用,可得C的极坐标方程;(Ⅱ)先将直线的参数方程化为极坐标方程,再利用弦长公式可得的斜率.
试题解析:(Ⅰ)由可得圆的极坐标方程
(Ⅱ)在(Ⅰ)中建立的极坐标系中,直线的极坐标方程为.
设所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得
于是
由得,
所以的斜率为或.
【考点】圆的极坐标方程与普通方程互化, 直线的参数方程,弦长公式
【名师点睛】极坐标方程与直角坐标方程互化时注意:在将点的直角坐标化为极坐标时,一定要注意点所在的象限和极角的范围,否则点的极坐标将不唯一;在将曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围,注意转化的等价性.
3.(Ⅰ)圆,;(Ⅱ)1
【解析】
试题分析:(Ⅰ)把化为直角坐标方程,再化为极坐标方程;(Ⅱ)联立极坐标方程进行求解.
试题解析:解:(Ⅰ)消去参数得到的普通方程.
是以为圆心,为半径的圆.
将代入的普通方程中,得到的极坐标方程为
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(Ⅱ)曲线的公共点的极坐标满足方程组
若,由方程组得,由已知,
可得,从而,解得(舍去),.
时,极点也为的公共
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