M-5 第五章 点源函数及其应用方法.doc

PAGE PAGE 111 第五章 点源函数方法 在不定常渗流力学理论中，点源或点汇是相对于介质而言的。点汇是指多孔介质中存在某一数学点，一定质量的流体流向这一点并在这一点上消失，即介质外存在抽取。与之相反的是点源，指一定质量的流体由这一数学点产生并扩散出去，即介质外存在注入。由于通常的渗流控制方程的解满足于叠加原理，所以用点源或点汇解决渗流问题很有效，求解点源或点汇的压力分布是基本问题之一。由于点源与点汇所引起的数学问题求解时具有等价性（流量相差一个符号），所以按习惯我们通称为点源问题。 点源函数的思想起源于十九世纪下半叶（Lord Kelvin 1880）的热传导理论，在二十世纪三十年代被物理学家广泛使用。点源的方法就是应用Green函数方法求解不定常问题。由于多孔介质中流体的渗流和固体中的热传导在数学模型上相似，所以通过类比，可将关于热传导的许多研究成果直接引入渗流力学中。Hantush等人（1955）解决了带型区域边水不稳定漏失问题，Nisle（1958）在研究部分射开井的压力恢复特征时就引用了热传导理论中关于点源函数的应用结果。Gringarten和Ramey（1973）对于点源函数方法有过详细的推广和说明，其结果对研究不稳定压力分析方面产生了深远的影响，而Ozkan和Raghavan（1991）又在Laplace变换空间重新求解了点源问题，并拓展到双重孔隙介质。 本章首先阐述经典渗流方式下的基本点源函数，然后考虑双重孔隙介质、补给边界等复杂情形，最后给出应用实例。 5.1基本点源函数 q0 q0 z 图5-2-1 一维渗流物理示意图 zw 5.1.1直线瞬时点源函数 问题：在无界均质地层中，初始时刻压力分布均匀、扩散系数为ηz，考虑有一强度恒为q0（单位长度流量）的无限长直线汇（比如无限长垂直裂缝），在t = 0时刻发生一维单向不稳定线性渗流，控制方程组给出如下： ；； 这里，规定δ函数有如下性质： 求解：经过Laplace控制方程变为： ，， 考虑到边界条件，显然变换后的控制方程组有如下解式： 经过Laplace反变换可得： ，， 特别地，当q0=?ct时有瞬时Green源函数： 由上式可以看出在不稳定渗流场中Green源函数的意义——压降速度。 对于持续点源可由同样的方法或由Duhamel原理得到： 上式是一个用Green源函数求解持续源不定常渗流问题的通式。 5.1.2平面瞬时点源函数 在平面无界均质地层中，初始时刻压力分布均匀、扩散系数为?r，考虑有一强度恒为q0（单位厚度流量）的平面瞬时点汇，在t = 0时刻发生一维不稳定径向渗流，取极坐标系，将平面点汇其表示为一个半径很小的小圆，压力扰动传播满足下列方程组： ； 求解：对以上各方程式进行Laplace变换，依律可得到如下方程组： ， 可得： ，， 类似地，当q0=?ct时有瞬时Green源函数： 在各向同性条件下（各向异性可以通过坐标变换处理），上式可以直接分解： 由此可见，在一定条件下，二维渗流问题可以分解为两个一维渗流问题。 对于平面持续点源问题，通过积分得到（Q = q0 h）： 上式正是用Bolzmann变换方法得到的幂积分函数解式。 5.1.3空间瞬时点源函数 在三维无界均质地层中，初始时刻压力分布均匀、扩散系数为ηr，考虑有一强度恒为q0的空间瞬时点汇，在t = 0时刻发生一维不稳定径向渗流，取球坐标，将空间点汇表示为一个半径很小很小的小球，其不定常渗流控制方程组为： ， ， 通过Laplace变换得到： ，， 当q0 =φct时有瞬时Green源函数： 在各向同性条件下（各向异性可以通过坐标变换处理），上式可以直接分解： 可见，在一定条件下，三维渗流问题可以分解为三个一维渗流问题，由此可以体会到用一维点源函数解决多维渗流问题的途径。 对于空间持续点源问题，亦可以通过积分得到（q(t) = q）： 如果沿方向对上式作无穷积分，可得到平面径向流幂积分函数特例解式： 此式说明传统的平面径向渗流问题是三维渗流问题的一种简化。 5.1.4分维瞬时点源函数 分数维是对传统的Euclidian整数维空间的广义化。用分维空间描述多孔介质，是近年来渗流力学理论的一个新发展。美国数学家Mandelbrot（1982）最早采用分数维描述自然现象中的非线性特征，后来发展成分形学。O’shaughnessy（1985）等人首先研究了分形体中扩散的理论问题，他给出了分形介质的孔隙度和渗透率的分布公式。Chang（1990）等人将O’shaughnessy的研究结果应用于分形介质中的压力动态分析中。刘慈群（1995）的研究结果对分形介质中孔隙度、渗透率的分布公式有所改进，浓缩了分形介质的意义。分形比较适合于描述多孔介质的横向非均质以及天然裂缝系统的