高中数学竞赛解题法篇(不等式).doc

第 PAGE 1页 共 NUMPAGES 15页 高中数学竞赛中不等式的解法 摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。 希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。 不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用. 1．排序不等式 定理1 设，则有 (倒序积和) （乱序积和）（顺序积和） 其中是实数组一个排列，等式当且仅当或时成立. （说明： 本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.） 证明：考察右边不等式，并记。 不等式 的意义：当时，S达到最大值.因此，首先证明必须和搭配，才能使S达到最大值.也即，设且和某个搭配时有 （1-1） 事实上， 不等式（1-1）告诉我们当时，调换和的位置（其余n-2项不变），会使和S增加.同理，调整好和后，再调整和会使和增加.经过n次调整后，和S达到最大值，这就证明了. 再证不等式左端, 由及已证明的不等式右端， 得 即 . 例1 （美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c是正数，求证：. 思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明. 证明：不妨设，则有 根据排序不等式有： 以上两式相加，两边再分别加上 有 即 故 . 例2 设a,b,c，求证：. 思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明. 证明：不妨设，则 且 根据排序不等式，有 两式相加除以2，得 再考虑，并且 利用排序不等式， 两式相加并除以2，即得 综上所述，原不等式得证. 例3 设，而与是的两个排列. 求证：. （1-2） 思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式. 证明：令 （r=） 显然 因为 ， 且 由排序不等式 又因为 所以 且（注意到0） 故 故 原式得证. 2.均值不等式 定理2 设是n个正数，则称为均值不等式. 其中， 　 ， ， 　， 　 分别称为的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数. 证明： 先证 . 记 ，令 ， 则 原不等式 其中 取 使 则 由排序不等式，易证 下证 因为 ] 所以 　　. 从上述证明知道，当且仅当时，不等式取等号. 下面证明 对n个正数，应用 ，得 即 （等号成立的条件是显然的）. 例4已知，求证：. 证明：由于 ，， 有 从而 下证 ， 即 。 又因为 ，等号在x=(这时y=)时取得 所以 　　　　　　 . 例5（IMO）设a,b,c是正实数，且满足abc=1. 证明： 证明：令 ，其中x,y,z是正实数，将原不等式变形为 （2-1） 记 ， 注意到u,v,w任意两个之和是一个正数，所以它们中间至多有一个负数. 如果恰有一个负数，那么，（2-1）式成立. 如果这三个数都大于0，由算术—几何平均不等式 同理可证，， 于是 即 ，（2-1）式得证. 例6 已知，且. 求证：. 思路分析：左边各项形式较复杂，首先将其化简为. 左边为和的形式，但其各项之和难与右边联系，利用算术平均大于几何平均难以求证，而左边各项可看为倒数形式，尝试用调和平均. 证明：不等式左边化为 ， 对，利用有 即 所以 . 3．柯西不等