2017年全国高中数学联赛精彩试题与问题详解.doc

实用标准文档 文案大全 2017年全国高中数学联赛试题与答案 第一试 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分． 1.设是定义在上的函数，对任意实数有．又当时，，则的值为 ． 答案： 解：由条件知，所以 2.若实数满足，则的取值范围是 ． 答案： 解：由于，故 由可知，因此当时，有最小值（这时可以取）；当时，有最大值（这时可以取）．由于的值域是，从而的取值范围是 3.在平面直角坐标中，椭圆的方程为，为的上焦点，为的右顶点，是上位于第一象限内的动点，则四边形的面积的最大值为 ． 答案： 解：易知设的坐标是则 其中当时，四边形的面积的最大值为 另解：易知经过上位于第一象限内点一条切线与直线平行．该切线方程为 ． 因为这两条平行直线的斜率相等，所以 又因所以 易得点到直线的距离为 于是，四边形的面积的最大值为 4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”．平稳数的个数是 ． 答案： 解：考虑平稳数． 若，则，有2个平稳数． 若，则，，有个平稳数． 若，则，有个平稳数． 若，则，有个平稳数． 综上可知，平稳数的个数是 另解：设是一个平稳数，则且 由可知，．由可知， 1）若，则 ，有个平稳数． 2）若，则 或 于是， ，； 或，． 有个平稳数． 3）若，则 或 于是， ，； 或． 有个平稳数． 4）若，则， 由得 ； 由得 ； 由得 ； 由得 有个平稳数． 综上可知，平稳数的个数为 5.正三棱锥-中，，过的平面将其体积平分，则棱与平面所成角的余弦值为 ． 答案： 解：设的中点分别为，则易证平面就是平面．由中线长公式知 所以 又易知直线在平面上的射影是直线，而所以 故棱与平面所成角的余弦值为 6.在平面直角坐标系中，点集在中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为的概率 ． 答案： 解：易知中有9个点，故在中随机取出三个点的方式有种． 将中的点按右图标记为其中有8个点之间的距离为由对称性，考虑两个点的情况，则剩下的一个点有7种取法．这样有个三点组（不计每组中三点的次序）．对每个，中恰有两点与之距离为（这里下标按模8理解），因而恰有这8个三点组被记了两次．从而满足条件的三点组个数为，进而所求概率为 7.在中，是的中点，是线段的中点．若，的面积为，则的最小值为 ． 答案： 解：由条件知，，故 由于所以，进一步可得 从而 当时，的最小值为 8.设两个严格递增的正整数数列，满足：，对任意正整数， 有则的所有可能值为 ． 答案： 解：由条件可知：均为正整数，且 由于，故反复运用的递推关系知 因此 而，故 ① 另一方面，注意到，有故 ② 当时，①，②分别化为无解． 当时，①，②分别化为得到唯一的正整数此时 当时，①，②分别化为，得到唯一的正整数此时 综上所述，的所有可能的值为 二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9.（本题满分16分）设为实数，不等式对所有成立．证明： 证明：令，，则于是 ① ② ③ 由①②③知， 故 另证：令，因为不等式对所有成立，所以在上的最大值与最小值之差不超过2．下面用反证法证明 假设 1）当时， 矛盾． 2）当时， 矛盾． 3）当时， ⅰ）若，则 矛盾． ⅱ）若，则 矛盾． 10.（本题满分20分）设是非负实数，满足，求 的最大值和最小值． 解：由柯西不等式 当时不等式等号成立，故欲求的最小值为1. 因为 当时不等式等号成立，故欲求的最大值为 11.（本题满分20分）设复数满足，且 （其中表示复数的实部）． （1）求的最小值； （2）求的最小值． 解：对，设．由条件知 因此 又当时，．这表明，的最小值为 （2）对，将对应到直角坐标系中的点．记是关于轴的对称点，则均位于双曲线的右支上． 设分别是的左、右焦点，易知 根据双曲线的定义，有进而得 等号成立当且仅当位于线段上（例如，当时，恰是的中点）． 综上可知，的最小值为 加试题 一、（本题满分40分）如图，在中，，为的内心．以为圆心，为半径作圆，以为圆心，为半径作圆，过点、的圆与、分别交于点、（不同于点）．设与交于点． 证明： 证明：连接 由于点在圆上，故所以 又四点共圆，所以于是 故∽，从而有且 注意到，且为的内心，故，所以 于是∽，故 又点在圆的弧上，故