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2016年全国高中数学联赛试题
填空题
设实数a满足,则的取值范围是____________.
【解】由于,解之得,
设复数满足,,其中i是虚数单位,分别是的共轭复数,则的模为_____________.
【解】
,,
,
.
【点评】
正数均不等于1,若.则_______.
【解】,,由于,
Then ,,
.
【点评】换元法.
袋子A中装有2张10元纸币和3张1元纸币,袋子B中装有4张5元纸币和3张1元纸币,现随机从两个袋子中各取两张纸币,则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率是_________________.
【解】A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币A中取走的纸币面值之和小于B中取走的纸币之和,
当袋子A中取走2张1元时,有种取法,只要B不取2张1元即可,有,
其余情况均不符合题意,故.
设为一圆锥的顶点,是底面圆周上的三点,满足,为的中点.若,则二面角的大小为______________.
【解】
,.
设函数,其中是一个正整数.若对任意实数,均有,则的最小值是___________.
【解】
,
当且仅当时,取到最大值,对于任意一个长为1的区间至少包含一个最大值点,从而.
反之,当时,对于任意一个区间均包含的一个完整周期,此时,
成立,
综上,正整数的最小值为.
设为正实数,若存在,使得,则的取值范围是______________
【解】,,
因为,所以,
若存在,使得,则
,
当时,区间长度不小于4,必存在;
当时,,
当,,无解,舍;
当,;
当,,
综上,.
8.
(16分)若实数a、b、c满足,,求c的最小值.
【解】设,则
,则
.
【题目】在中,已知:.求的最大值.(A卷)
【解】,即
,由余弦定理,
,化简,得
,
,
.
10.已知:为上的奇函数,,且对任意,均有.
求的值.
【解】先求函数的解析式.
因为对任意,均有,令,则,(叠乘)
则,
下面求,
原式=
如图所示,在平面直角坐标系中,是轴正半轴上一个动点,以为焦点、为顶点作抛物线.设是第一象限内上的一点,是轴负半轴上一点,使得是为的切线,
【解】,两焦点,,设直线,
,,
由不重合,故直线的斜率存在,故是方程的两个不等实根,
,
①,
,,,
由于直线的斜率依次成等差数列,所以,
即,
,
若,则直线经过,与题意矛盾,
故,
由韦达定理,,故,②,
由①,②得
,,
焦点到直线的距离为,故,
注意到,
令,则,
故在区间上单调减,故.
加试
【题目】设满足.
求的最大值.
【解】推广成一般情况:设满足.let.
求的最大值.
,
If and only if and ,
So .
【题目】如图所示,在中,是直线上两点,使得(2016全国高中数学联赛加试2题)
设,的外心分别是,直线与分别交于.
证明:是等腰三角形.
【证明】作平分线,交于,
,
即关于圆的幂等于关于圆的幂,在圆与圆的根轴上,,是等腰三角形.
【法2】分别作在上的射影,
(其中外接圆半径),
同理,,因为,所以,
因为,同理,
所以,是等腰三角形.
【题目】设均为素数,,定义数列
其中表示不小于实数的最小整数.
证明:对于均有.
【证明】(数学归纳法)
对于整数数列,
当时,,
均为素数,,,
当时,,均有成立,此时,
,
,
从而对于,有
因为,所以,
,,又因为为大于1的素数,所以,所以,所以,.
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