1-4极限的基本性质.ppt

第四节  极限的基本性质 第一章 一、极限的唯一性 二、收敛数列的有界性及有极限 函数的局部有界性 三、极限的保号性(或局部保号性) 四、收敛数列与其子列的关系 五、函数极限与数列极限的关系 如果极限 那么极限唯一. 证 (用反证法) 及 且 取 因 存在 N1 , 使当 n N1 时, 假设 一、唯一性 定理1.1 (极限的唯一性) 即当 n N1 时, 从而 使当 n N1 时, 同理, 因 故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有 从而 使当 n N2 时, 有 矛盾！ 因此收敛数列的极限必唯一. 则当 n N 时, 故假设不真 ! 例1 证明数列 是发散的. 证法1 (用反证法) 假设数列 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 . 对于 则存在 N , 使当 n N 时 , 有 因此该数列发散 . 于是推得 矛盾！ 区间长度为1 这与 二、有界性 例如: 有界 无界 定理1.2 (收敛数列的有界性) 如果数列 收敛,那么数列 一定有界. 问题 对于无限多项 如何求 M ？ 证 设 取 则 当 时, 从而有 取 则有 即收敛数列必有界. 有 例如, 虽有界但不收敛 . 数列 关系： 收敛 有界 反之未必成立 . 如果极限 存在, 则必存在 X 0, f (x)是有界的. 使得当 推论 无界数列必发散. 定理1.2(函数极限的局部有界性) 注 类似地， 三、 保号性、保序性 定理1.3 (收敛数列的保号性) (1) 若 则 使当n N 时， () () (2) 若 则 a ? 0. () (?) 恒有 且 对 a 0 , 取 证 (1) (2) 用反证法证明. 注 如： 据此，可由极限符号推得函数在该点邻域内的符号 据此，可由函数在该点邻域内的符号推得极限符号 推论1.3 (收敛数列的保序性) 使当n N 时，恒有 (1) 若 时, 有 证 定理1.3 (函数极限的局部保号性) (1) 如果 且 A 0 , 则存在 ( A 0 ) (2) 如果 且存在 A ? 0 . 则 ( A ? 0 ). 据此，可由极限符号推得函数在该点邻域内的符号 据此，可由该点邻域内函数的符号推得极限的符号 若 f (x) g(x), 能否推出 ？ 例如: 设 当x 0 时, 有 f (x) g (x), 但是 不能！ 问题 在子数列 中, 一般项 是子数列的第k 项, 在原数列{ xn }中则是第 项. 四、 收敛数列与其子数列的关系 1. 子数列的概念 数列 { xn }的子数列(或子列) 例如, 从数列 中抽出所有的偶数项 是其子数列. 它的第k 项是 而 在原数列中则是第2k 项. 组成的数列： 2. 收敛数列与其子数列的关系 定理1.4 也收敛，且 证 设 的任一子数列 . 若 则 当 有 取正整数 K , 使 于是当 时, 从而有 注 1°某 收敛 例如， 但 发散. 2°若数列有两个子数列收敛于不同的极限， 则原数列一定发散 . 例1 证法2 发散 ! 3° 五、 函数极限与数列极限的关系 如果极限 存在, 为函数 f (x)的 敛于 的数列, 且满足: 那么相应的函数 值数列 必收敛, 且 的定义域内任一收 定理1.4(函数极限与数列极限的关系) 证 注 1° 常常利用上述结果来求数列的极限: 例如: 2° 常利用此定理来说明函数极限不存在 . 方法1 找一个数列 不存在 . 方法2 找两个趋于 的不同数列 及 说明