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山东省优质课《数与形》课堂实录
一、谈话导入
1、师:同学们,我们学过了哪些数学知识?
生:分数乘法。
师:这是关于数的知识。
生:我们学过小数乘法。
师:这也是关于数的知识。
生:我们学过长方体正方体的体积。
师:这是关于形的知识。
生:我们学过比。
师:这是关于数的知识。
生:我们还学过奇数偶数。
师:这也是关于数的知识。
(将以前学过的知识进行整理,都可以分为“数”和“形”两类)
2、图片欣赏。
师:让我们来看一幅图片,图片中有什么?
生:花坛。
师:说具体点。
生:一个正方形花坛。
师:在这句话中就既有数、又有形。
(演示:数:一个 形:正方形 物: 花坛)
师小结:(录音中不包括)
二、探究新知。
1、从1开始的n个连续奇数相加的和是多少?
师:n个是几个?
生:无数个。
师:这个n代表多少?可以代表300吗?
生:可以。
师:有可能是300个,有没有可能是30个?有没有可能是3个?也就是说,它的个数是不固定的。那它的个数不固定,它的和呢?
生:也不固定。
师:可见这个和必定和这个n有关系。那它到底有什么联系呢?怎么才能知道它有什么联系?
师:你有方法吗?想一想你有没有好的思路?
生:可以自己先算一算。
师:怎么算?
生:先算出10个,然后再进行推算。
师:真好。他的意思是把n先假定在10个以内,对吗?很好的策略。复杂的问题往往要从简单的开始。那我们就听你的,把n的个数假定在10个以内,举一些例子来看一看他们有什么联系。几个最简单?
生:1个。
师:1个最简单,那我们来看。如果有1个这样的奇数那算式也只能是1,和也是1。
师:如果有两个这样的奇数相加,那算式应该是什么样子的?
生:1+3
师:对吗?和呢?
生:4
师:它们是不是有联系?继续。3个。
生:1+3+5
师:同意吗?和呢?
生:9
师:再来一个。
生:1+3+5+7
师:同意吗?和是?
生:16.
师:我想是不是有同学观察到了什么?你有什么发现?先在小组说说你的发现,关键是下面的算式是不是都有这个规律?任选一个验证一下。
师:(巡视指导)任选一个验证一下,看看下面的算式是不是也有这样的规律,规律应该是有连续性的。
2、小组汇报交流。
师:同学们有发现吗?谁来说一下你有什么发现。
生:每个后面的数都是加2,而且都是奇数。
生:后面得的这个数都是前面这个数的平方倍。
师:你能找一个数解释一下吗?
生:5,算式是1+3+5+7+9=25
师:那你说一下5和25的关系。
生:25是5的平方倍。
师:25是5的平方。你们有没有这样的发现?你们验证的是哪一个?
生:我们验证的是6.
师:6,6个这样的奇数相加是多少?
生:36.
师:算式是1+3+5+7+9+11=36,也有这个规律。那大家再来看这些是不是都有这个规律?为了便于观察,我们可以将算式先隐藏起来,大家看一看,确认一下,有这个规律吗?
3、小结。
师:按照刚才这个同学的说法,当有1个这样的奇数相加的时候,它的和就是1×1;也就是1的平方;当有2个这样的奇数相加,它的和4就是2的平方;9呢?3的平方;16呢?4的平方;25呢?5的平方。依次这样下去,看来真的有这样的规律。以此类推,如果有20个这样的连续奇数相加,你觉得它的和应该是多少?
生:400.
师:怎么算的?
生:20×20=400
师:那如果有100个这样的连续奇数的和应该是多少?
生:100×100=10000.
师:以此类推,如果有n个这样连续奇数相加的和应该是多少?
生:n的平方。
师:齐读。
生:从1开始的n个连续奇数相加的和是n的平方。
师:这个规律有意思吗?从1开始的几个连续奇数,它的和竟然可以用它的个数的平方来算。你觉得奇怪吗?你不奇怪能不能来解释一下?为什么这样连续奇数相加是它的和可以用个数的平方来算?
生:比如说5,就是5个数相加,它的和就是5的平方。
生:可以用简便算法来试试。10个连续奇数,可以看做是1+19,3+17,5+15,7+13,9+11,就是5个20相加。
师:你用了另一种算法,但是仍然不能解释为什么它们的和要用个数的平方来算。
4、小组交流。
师:说实话,同学们,如果这个道理从数的道理来解释,还真的不太好解释,那该怎么办?华罗庚说过:“不懂就画图”,我们为了让大家听得更清楚,老师准备了一幅画,我们来拼图。我来做个示范。哪个最简单?
生:1
师:我用1个红色的正方形来代表1,1行而且1个,1乘1还是1,下一个1+3,你能用这样的图形来表示出来吗?拼出个1+3行不行?大家小组内都有这样的小正方形,拼一拼。
(巡视指导)
5、小组展示。
师:请问,这可以表示1+3吗?(指着横排成一排的)
师:“1”在哪里?(红色)“3”呢?(黄色)这个是不是可以表示1+3?
师:这个正方形可以表示1+3吗?
生:可以。
师:“1”在哪里
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