生物数学模型第一讲 数学模型与生物数学.ppt

1 数学模型与生物数学 1.1 从现实对象到数学模型 1.2 数学建模的重要意义 1.3 数学建模示例：药物中毒施救 1.4 数学建模的基本方法和步骤 1.5 数学模型的特点和分类 1.6 生物数学模型的内涵与分支 玩具、照片、飞机、火箭模型… ~ 实物模型 水箱中的舰艇、风洞中的飞机… ~ 物理模型 地图、电路图、分子结构图… ~ 符号模型 模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物. 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征. 1.1 从现实对象到数学模型 我们常见的模型 你碰到过的数学模型——“航行问题” 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程： 答：船速为20km/h. 甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需30h， 从乙到甲逆水航行需50h，问船的速度是多少? x=20 y =5 求解 航行问题建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数） 用符号表示有关量（x, y分别表示船速和水速） 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程） 求解得到数学解答（x=20, y=5） 回答原问题（船速为20km/h） 数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling) 对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学表述. 建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等） 数学模型 数学建模 1.2 数学建模的重要意义 电子计算机的出现及飞速发展. 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透. 数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视. 在一般工程技术领域, 数学建模仍然大有用武之地. 在高新技术领域, 数学建模几乎是必不可少的工具. 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地. “数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术”. 数学“由研究到工业领域的技术转化，对加强经济竞争力具有重要意义”. “计算和建模重新成为中心课题，它们是数学科学技术转化的主要途径” . 数学建模的重要意义 数学建模的具体应用 分析与设计 预报与决策 控制与优化 规划与管理 数学建模 计算机技术 知识经济 如虎添翼 场景 如何施救药物中毒 两位家长带着孩子急匆匆来到医院急诊室. 诉说两小时前孩子一次误吞下11片治疗哮喘病、剂量100mg/片的氨茶碱片，已出现呕吐、头晕等不良症状. 按照药品使用说明书，氨茶碱的每次用量成人是100~200mg ，儿童是3~5 mg/kg. 过量服用可使血药浓度(单位血液容积中的药量)过高，100μg/ml浓度会出现严重中毒, 200μg/ml浓度可致命. 医生需要判断：孩子的血药浓度会不会达到100~200 μg/ml；如果会达到，应采取怎样的紧急施救方案. 1.3 数学建模示例 调查与分析 转移率正比于x 排除率正比于y 胃肠道 血液系统 口服药物 体外 认为血液系统内药物的分布，即血药浓度是均匀的，可以将血液系统看作一个房室，建立“一室模型” . 药量x(t) 药量y(t) 血液系统对药物的吸收率 (胃肠道到血液系统的转移率) 和排除率可以由半衰期确定. 半衰期可以从药品说明书上查到. 通常，血液总量约为人体体重的7 % ~8%，体重50~60 kg的成年人有4000ml左右的血液. 目测这个孩子的体重约为成年人的一半，可认为其血液总量约为2000ml. 调查与分析 血药浓度=药量/血液总量 口服活性炭来吸附药物，可使药物的排除率增加到原来（人体自身）的2倍. 临床施救的办法： 体外血液透析，药物排除率可增加到原来的6倍，但是安全性不能得到充分保证. 模型假设 1. 胃肠道中药物向血液的转移率与x(t) 成正比，比例系数λ(0)，总剂量1100 mg药物在t=0瞬间进入胃肠道. 2. 血液系统中药物的排除率与y(t) 成正比，比例系数μ(0)，t=0时血液中无药物. 3. 氨茶碱被吸收的半衰期为5 h，排除的半衰期为6 h. 4. 孩子的血液总量为2000 ml. 胃肠道中药量x(t), 血液系统中药量y(t)，时间t以孩子误服药的时刻为起点（t=0）. 模型建立 x(t)下降速度与x(t)成正比(比例系数λ), 总剂量1100mg药物在t=0瞬间进入胃肠道. 转移率正比于x 排除率正比于y 胃肠道 血液系统 口服药物 体外 药量x(t) 药量y(t) y(t)由吸收而增长的速度是λx，由排除而减少的速度与y(t) 成正比(比例系数μ) , t=0时血液中