MATLAB在求解常微分方程中的应用.doc

《MATLAB语言》课程论文 MATLAB在求解常微分方程中的应用 姓名：袁学婷 学号：12010245278 专业：通信工程 班级：通信一班 指导老师：汤全武 学院：物理电气信息学院 完成日期：2012年12月10日 MATLAB在求解常微分方程中的应用 （袁学婷 12010245278 2010通信班） 【摘要】 MATLAB成为许多学科的解题工具，将MATLAB融入其它课程的学习中，可以大大提高运算效率和准确性。随着计算机的普及和国民整体素质的提高，科学计算将会更加的普及。MATLAB在矩阵及数值计算、多项式和线形代数、符号数学的基本方法等方面都有较好的应用。本文概括地介绍了MATLAB在求解常微分方程中的应用。 【关键词】MATLAB 求解 常微分方程 解析解 数值解 一、问题的提出 自20世纪80年代以来，出现了多种科学计算语言，亦称数学软件，比较流行的有MATLAB、Mathematica、Maple等。因为他们具有功能强、效率高、简单易学等特点，在在许多领域等到广泛应用。MATLAB便是一种影响大、流行广的科学计算语言。MATLAB的语法规则简单，更加贴近人的思维方式。 MATLAB是英文MATrix LABoratory(矩阵实验室)的缩写。自1984年由美国MathWorks公司推向市场以来，得到了广泛的应用和发展。在欧美各高等院校MATLAB已经成为线性代数、自动控制理论、数字信号处理、时间序列分析、动态系统仿真、图像处理等诸多课程的基本教学工具，成为大学生、硕士生以及博士生必须掌握的基本技能。在设计研究单位和工业部门，MATLAB已被广泛的应用于研究和解决各种具体的工程问题。近年来，MATLAB在我国也开始流行，应用MATLAB的单位和个人急剧增加。可以预见，MATLAB将在我国科学研究和工程应用中发挥越来越大的作用。现在简单的介绍一下MATLAB在解微分方程中的应用。 众所周知，只有对一些典型的常微分方程，才能求出它们的一般解表达式并用初始条件确定表达式中的任意常数。所以能够求解的微分方程是十分有限的，特别是高阶方程（组）．这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法，既要研究微分方程（组）的解析解法（精确解），更要研究微分方程（组）的数值解法（近似解）． 对微分方程（组）的解析解法(精确解)，Matlab 有专门的函数可以用，本文将作一定的介绍． 二、常微分方程的概述 1、微分方程的概念 未知的函数以及它的某些阶的导数连同自变量都由一已知方程联系在一起的方程称为微分方程。如果未知函数是一元函数，称为常微分方程。常微分方程的一般形式为 0 0 ) , , , , , ( ) ( ? n y y y y t F ??? 2、常微分方程的解析解 有些微分方程可直接通过积分求解.例如,一解常系数常微分方程可化为,两边积分可得通解为.其中为任意常数.有些常微分方程可用一些技巧,如分离变量法,积分因子法,常数变异法,降阶法等可化为可积分的方程而求得解析解. 线性常微分方程的解满足叠加原理,从而他们的求解可归结为求一个特解和相应齐次微分方程的通解.一阶变系数线性微分方程总可用这一思路求得显式解。高阶线性常系数微分方程可用特征根法求得相应齐次微分方程的基本解，再用常数变异法求特解。 一阶常微分方程与高阶微分方程可以互化，已给一个阶方程 (2) 设，可将上式化为一阶方程组 (3) 反过来，在许多情况下，一阶微分方程组也可化为高阶方程。所以一阶微分方程组与高阶常微分方程的理论与方法在许多方面是相通的，一阶常系数线性微分方程组也可用特征根法求解。 3、微分方程的数值解法 除常系数线性微分方程可用特征根法求解，少数特殊方程可用初等积分法求解外，大部分微分方程无限世界，应用中主要依靠数值解法。考虑一阶常微分方程初值问题 (4) 其中所谓数值解法，就是寻求在一系列离散节点上的近似值称为步长，通常取为常量。最简单的数值解法是Euler法。 Euler法的思路极其简单：在节点出用差商近