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第十四章 机械振动 14 – 3 旋转矢量 旋转矢量法 上 讲 内 容 二. 特征量 角频率 振幅 初相 一. 简谐振动的运动方程(平衡位置为坐标原点） 三. 旋转矢量法 写出质点 m 以角速率 ? 沿半径 A 的圆周匀速运动的参数方程 思考： x、y 方向分运动均为简谐振动 x y o m A 旋转矢量 的 端点在 轴上的投 影点的运 动为简谐 运动. 模 振幅 A 角速度 角频率 ? 旋转周期 振动周期 T=2?/ ? 上的投影 在 ox A r 上的投影 端点速度在 ox A r 上的投影 端点加速度在 ox A r 位移 速度 加速度 x =Acos(?t+? 0) v =- ? Asin(?t+? 0) a =- ? 2Acos(?t+? 0) 旋转矢量 简谐振动 符号或表达式 初相 ? 0 t=0时， 与ox夹角 相位 ?t+? 0 t时刻， 与ox夹角 旋转矢量 与简谐振动的对应关系（教材 P.378 表13.1.2/P.8表12.1.1） ω (ωt +?0 ) x M O 旋转矢量法优点： 直观地表达谐振动的各特征量 便于解题, 特别是确定初相位 便于振动合成 由 x、v 的符号确定 所在的象限： 24 o 教材P.410 13-6 / P.40 12-6 解：作t = 0时刻的旋转矢量 求：质点运动到 x = -12 cm处所需最短时间。 已知： A = 24cm, T = 3s, t = 0时 作x = -12cm处的旋转矢量 12 -12 练习 练习 两个小球a和b分别沿o-x轴作简谐振动，在t=0时，两球均在平衡位置，且球a向x轴的正方向运动，球b向x轴的负方向运动，比较t=4/3s时两球的振动相位差。（Ta=2Tb=2s） 四. 孤立谐振动系统的能量 孤立谐振动系统机械能守恒 水平放置的弹簧振子 { 以平衡位置为坐标原点 不计振动传播带来的能量损失 —— 辐射阻尼 不计摩擦产生的热损耗 —— 摩擦阻尼 4 T 2 T 4 3 T 能量 E-t 曲线 E - x 曲线 竖直悬挂的弹簧振子 以弹簧原长处为重力势能、弹性势能零点 以平衡位置为坐标原点 k m O x k x0 EP=0 mg-kx0=0 x k 恰当选择零势点，可去掉第二项。 如何选？以平衡位置为坐标原点和势能零点 k m O x k x0 EP=0 mg=kx0 x k 弹簧的弹力 弹簧的伸长 准弹性力：弹力与重力的合力 离系统平衡位置的位移 弹性势能 重力势能和弹性势能的总和 准弹性势能， 比较 竖直悬挂的弹簧振子 水平放置的弹簧振子 回复力 势能 总能 统一描述：只要以平衡位置为坐标原点和零势点 准弹性势能: （包括重力势能、弹性势能） 振动系统总能量 能量法求谐振动的振幅 机械能守恒： 自学 教材 P381 [例6]、[例7] / P.12 [例5] 能量法求谐振动的周期 两边对时间求导： 例：能量法求谐振动的周期 已知： 求： 解：以平衡位置为坐标原点 和零势点，向下为正，任意 时刻 t 系统的机械能为： 振动系统机械能守恒： 两边对时间求导： 得： 质量为 的物体，以振幅 作简谐振动，其最大加速度为 ,求： （1）振动的周期； （2）通过平衡位置的动能； （3）总能量； （4）物体在何处其动能和势能相等？ 解 （1） 练习 （2） （3） （4） 时， 由 * * 第十四章 机械振动 14 – 3 旋转矢量