全微分知识宣讲.ppt

8.3 全 微 分 8.3 全 微 分 全微分(2) * 函数的变化情况. 偏导数讨论的只是某一自变量变化时 函数的变化率. 现在来讨论当各个自变量同时变化时 * 先来介绍 全增量的概念 为了引进全微分的定义, 全增量. 内有定义, 函数取得的增量 全增量. 一、全微分的定义 设二元函数z = f (x, y)在点P(x, y)的某邻域 当变量x、y点(x, y)处分别有增量Δx, Δy时, 称为 f (x, y)在点(x, y)的 * y = f (x)在点x 可微, 一元函数的微分 成立(其中A是与Δx 无关的常数), 则称函数 * 定义8.6 全微分. 可表示为 可微分, 则称函数z = f (x, y)在点(x, y) 称为函数z = f (x, y)在点 记作 即 函数若在某平面区域D内处处可微时, 则称 可微函数. 这函数在D内的 而不依赖于Δx 、 处 (x, y)处的 如果函数z = f (x, y)在点(x, y)的全 其中A 、 B仅与x、 y 有关, Δy, 全微分的定义可推广 到三元及三元以上函数. 增量 * 可微与连续有何关系呢？ 微分系数 注 全微分有类似一元函数微分的 A = ? B = ? 两个性质: 高阶无穷小. 可微与偏导数存在有何关系呢？ (1) dz是Δx与Δy的线性函数; (2) Δz与dz之差是比 * 显然, 由全微分的定义, 有 可得 多元函数可微必连续 不连续的函数 若函数z = f (x, y)在点(x, y) 可微分, 一定是不可微的. 一元函数连续的定义 定理8.2 则函数在点(x, y)必连续. 证 都不能保证函数在该点连续, 数在某点可微是否保证 上一节指出, 多元函数在某点各个偏导数即 使都存在, 函数在该点连续 而多元函 * 可微必可导 定理8.3 (可微的必要条件) 若函数z = f (x, y) 可微分, 且函数z = f (x, y)在点(x, y)的全微 在点(x, y) 则该函数在点(x, y)的偏导数 必存在, 分为 * 证 总成立, 同理可得 上式仍成立, 此时 的某个邻域 如果函数 z = f (x, y)在点P (x, y) 可微分, 如果函数z = f (x, y)在点(x, y)可微分, 则该函数在点(x, y)的 且函数z = f (x, y)在点(x, y)的全微分为 可微 可偏导 不可偏导 不可微 * 多元函数的各偏导数存在 如, 下面举例说明 二元函数可微一定存在两个偏导数. 一元函数在某点的导数存在 但两个偏导数都存在函数也不一定可微. (由偏导数定义可求得) 由定理8.3知: 一元函数的可导与可微的关系? 微分存在. 全微分存在. * 则 说明它不能随着 而趋于0, 因此, 如果考虑点 沿直线 趋近于(0,0), 函数在点(0,0)处不可微. * 说明 各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件. 这也是一元函数推广到多元函数出现的又 函数是可微分的. 多元函数的各偏导数存在并不能保证 全微分存在. 一个原则区别. 现再假定函数的 则可证明 各个偏导数连续, * 证 在该点的某一邻域内必存在的意思. 定理8.4 (今后常这样理解). 用拉氏定理 (可微的充分条件) 假定偏导数在点P(x, y)连续, 就含有偏导数 的偏导数 若函数z = f (x, y) 则该函数在点 (x, y) 可微分. * * 同理 故函数 z = f (x, y)在点(x, y)处可微. 因为 * 在原点(0,0)可微. 并非必要条件. 如 事实上, 注 定理8.4的条件 (即两个偏导数 点(x, y)连续) 可微 仅是函数z = f (x, y)在点(x, y)处 的充分条件, 同样, 在 * 在原点(0,0)可微. 于是, * 即函数 f (x, y)在原点(0,0)可微. 但是, 事实上, 偏导数在原点(0,0)不连续. 所以, 特别是 不存在. 即fx(x,y)在原点(0,0)不连续. 极限 fy(x,y)在原点(0,0)也不连续. 同理可证, 函数在一点可微, 此题说明: 在这点偏导数不一定连续. * 判别 f (x, y)在点(x0, y0)是否可微的方法: (1) 若f (x, y)在点(x0, y0)不连续, 或偏导不存在 则必不可微; (2) 若f (x, y)在点(x0, y0)的邻域内偏导存在且 连续必可微; (3) 检查 是否为 的高阶 无穷小? 即检查 是否为 的高阶无穷小(即极限为0)? 若为0, 则可微, 否则不可微. * 记全微分为 通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分 叠加原理也适用于二元以上函数的情况. 一元函数的许多