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三非周期信号的频谱 3.4 非周期信号的频谱 前已指出，当周期趋于无限大时，相邻谱线的间隔趋近于无穷小，从而信号的频谱密集成为连续频谱。同时，各频率分量的幅度也都趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍保持一定的比例关系。 为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。 令 称 为频谱密度函数。 一、傅里叶变换 . 当周期 趋近于无限大时， 趋近于无穷小，取其 为 ，而 将趋近于 ， 是变量，当 时，它是离散值，当 趋近于无限小时，它 就成为连续变量，取为 ，求和符号改为积分。 由式 ， 可得 如何求频谱密度函数？ 于是当 时，式 成为 （1）式称为函数 的傅里叶变换 。 （2）式称为函数 的傅里叶逆变换。 称为 的频谱密度函数或频谱函数. 称为 的原函数。 简记为 ? 与周期信号的傅里叶级数相类似，在f(t)是实函数时， F(ω)、φ(ω)与R(ω)、 X(ω)相互之间存在下列关系： 是 的偶函数。 是 的奇函数。 在f(t)是实函数时： (1) 若f(t)为t的偶函数，即f(t)=f(-t)，则f(t)的频谱函数F(jω)为ω的实函数， 且为ω的偶函数。 (2) 若f(t)为t的奇函数，即f(-t)=-f(t)，则f(t)的频谱函数F(jω)为ω的虚函数，且为ω的奇函数。 与周期信号类似，也可将非周期信号的傅里叶变换表示式改写成三角函数的形式，即 结论： 上式表明，非周期信号可看作是由不同频率的余弦“分 量”所组成，它包含了频率从零到无限大的一切频率“分 量”。由式可见， 相当于各 “分量”的振幅，它是无穷小量。 所以信号的频谱不能再用幅度表示，而改用密度函 数来表示。类似于物质的密度是单位体积的质量，函数 可看作是单位频率的振幅，称 为频谱密度函数。 例3.4-1 下图所示为门函数（或称矩形脉冲），用符号 表示，其宽度为 ，幅度为 。求其频谱函数。 0 二、 典型信号的傅里叶变换 解： 如图所示的门函数可表示为 其频谱函数为 图 3.4-1 门函数及其频谱 一般而言，信号的频谱函数需要用幅度谱 和相位 谱 两个图形才能将它完全表示出来。但如果频谱 函数是实函数或虚函数，那么只用一条曲线即可。 为负代表相位为 ， 为正代表相位为 。 0 0 实偶 实偶 由图可见，第一个零值的角频率为 （频率 ）。 当脉冲宽度减小时，第一个零值频率也相应增高。 对于矩形脉冲，常取从零频率到第一个零值频率 之间的频段为信号的频带宽度。 这样，门函数的带宽 ，脉冲宽度越窄， 其占有的频带越宽。 0 (时域越窄,频域越宽) 例3.4-2 求下图所示的单边指数函数的频谱函数. 0 t 图 3.4-2 单边指数函数 解: 将单边指数函数的表示式 代入到式 中得： 这是一复函数,将它分为模和相角两部分： 幅度谱和相位谱分别为： 频谱图如下图所示： ? (?) ? 0 -? / 2 ? / 2 (b) 相位频谱 图 3.4-3 单边指数函数 ? 0 1/? (a) 振幅频谱 例 3.4-3 求下图所示双边指数信号的频谱函数。 e?t 1 0 t f1 (t) e-?t 解：上图所示的信号可表示为： 或者写为 将 代入到式 ， 可得其频谱函数为： 其频谱图如下所示 ： F1(j?) ? 0 2/? 实偶 实偶 e?t 1 0 t f1 (t) e-?t 例3.4-4 求下图所示信号的频谱函数。 -e?t 1 0 t