椭圆问题中最值得关注的几类基本题型.docVIP

第33练　椭圆问题中最值得关注的几类基本题型 题型一　利用椭圆的几何性质解题 例1　如图，焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1的离心率e＝eq \f(1,2)，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，求eq \o(PF,\s\up6(→))·eq \o(PA,\s\up6(→))的最大值和最小值． 破题切入点　本题主要考查椭圆的几何性质及其应用，解题的关键是表示出eq \o(PF,\s\up6(→))·eq \o(PA,\s\up6(→))，根据椭圆的性质确定变量的取值范围． 解　设P点坐标为(x0，y0)．由题意知a＝2， ∵e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3. 所求椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1. ∴－2≤x0≤2，－eq \r(3)≤y0≤eq \r(3). 又F(－1,0)，A(2,0)，eq \o(PF,\s\up6(→))＝(－1－x0，－y0)， eq \o(PA,\s\up6(→))＝(2－x0，－y0)， ∴eq \o(PF,\s\up6(→))·eq \o(PA,\s\up6(→))＝xeq \o\al(2,0)－x0－2＋yeq \o\al(2,0)＝eq \f(1,4)xeq \o\al(2,0)－x0＋1＝eq \f(1,4)(x0－2)2. 当x0＝2时，eq \o(PF,\s\up6(→))·eq \o(PA,\s\up6(→))取得最小值0， 当x0＝－2时，eq \o(PF,\s\up6(→))·eq \o(PA,\s\up6(→))取得最大值4. 题型二　直线与椭圆相交问题 例2　已知直线l过椭圆8x2＋9y2＝72的一个焦点，斜率为2，l与椭圆相交于M、N两点，求弦|MN|的长． 破题切入点　根据条件写出直线l的方程与椭圆方程联立，用弦长公式求出． 解　由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝2(x－1)，,8x2＋9y2＝72，))得11x2－18x－9＝0. 由根与系数的关系，得xM＋xN＝eq \f(18,11)， xM·xN＝－eq \f(9,11). 由弦长公式|MN|＝eq \r(1＋k2)|xM－xN|＝eq \r(5)·eq \r((\f(18,11))2＋4×\f(9,11))＝eq \r(\f(3 600,112))＝eq \f(60,11). 题型三　点差法解题，设而不求思想 例3　已知椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1，求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程． 破题切入点　设出弦的两端点，利用点差法求解． 解　设弦的两端点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)， MN的中点为R(x，y)， 则xeq \o\al(2,1)＋2yeq \o\al(2,1)＝2，xeq \o\al(2,2)＋2yeq \o\al(2,2)＝2， 两式相减并整理可得， eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(x1＋x2,2(y1＋y2))＝－eq \f(x,2y)，① 将eq \f(y1－y2,x1－x2)＝2代入式①， 得所求的轨迹方程为x＋4y＝0(－eq \r(2)xeq \r(2))． 题型四　轨迹问题 例4　△ABC的一边的顶点是B(0,6)和C(0，－6)，另两边斜率的乘积是－eq \f(4,9)，求顶点A的轨迹方程． 破题切入点　直接设出A点坐标，根据条件求出轨迹，注意挖点． 解　设A(x，y)，由题设得eq \f(y－6,x)·eq \f(y＋6,x)＝－eq \f(4,9)(x≠0)． 化简得eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,36)＝1(x≠0)． 即顶点A的轨迹方程为eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,36)＝1(x≠0)． 总结提高　(1)关于线段长的最值问题一般有两个方法：一是借助图形，由几何图形中量的关系求最值，二是建立函数关系求最值或用不等式来求最值． (2)直线和椭圆相交问题：①常用分析一元二次方程解的情况，仅有“Δ”还不够，还要用数形结合思想．②弦的中点、弦长等，利用根与系数关系式，注意验证“Δ”． (3)当涉及平行弦的中点轨迹，过定点的弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程，用“点差法”来求解． (4)求轨迹(方程)的方法大致有直接法、代入法、定义法、参数法等，根据条件选择恰当的方法．  1．“2m6”是“方程eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,6－m)＝1表示椭圆”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　若eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,6－m)＝1表示椭圆， 则有eq \