《名师伴你行》人教A版学桉1方程的根与函数的零点.ppt

* * * * * 开始 学点一 学点二 学点三 学点四 1.函数零点的概念 对于函数y=f(x)，我们把使 的实数x叫做函数y=f(x)的 . 2.函数零点与方程根的关系 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的 ，也就是函 数y=f(x)的图象与 的交点的 .所以方程 f(x)=0有  函数y=f(x)的图象与  函数y=f(x) . f(x)=0 零点 实数根 x轴 横坐标 实数根 x轴有交点 有零点 返回 3.函数零点的判断 如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b) ，那么，函数y=f(x)在区间 内有零点，即存在c∈(a,b),使得 ，这个c也就是方程f(x)=0的根. 4.二次函数的零点、二次函数图象与x轴的交点、一元二次方程的根三者之间的关系. 0 (a,b) f(c)=0 返回 有两个零点 Δ=b2-4ac Δ0 Δ0 Δ=0 ax2+bx+c=0 (a0)的根 y=ax2+bx+c (a0)的图象 y=ax2+bx+c (a0)的零点 方程无实数根 x1=x2= 有一个二重零点 没有零点 返回 学点一 函数的零点 求下列函数的零点: (1)f(x)=4x-3; (2)f(x)=-x2-2x+3; (3)f(x)=x4-1. 【分析】根据函数零点与方程的根之间的关系，要求函数的零点就是求相应方程的实数根. 返回 【解析】 （1）由f(x)=4x-3=0得x= ，所以函数的零点是 . （2）由于f(x)=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1)，因此方程f(x)=0的根为-3,1，故函数的零点是-3,1. （3）由于f(x)=x4-1=(x2+1)(x+1)(x-1)，令f(x)=0，得x=1,-1,故函数的零点是1,-1. 【评析】求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法求出方程的根，从而得到函数的零点. 返回 （1）令lnx-3=0,得x=e3, ∴函数的零点为x=e3. （2）方程x3-7x+6=0可化为 x3-6x-x+6=x(x2-1)-6(x-1)=x(x+1)(x-1)-6(x-1) =(x-1)(x2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3)=0. 即(x-1)(x-2)(x+3)=0得x1=-3,x2=1,x3=2, ∴函数y=-x2-2x+3的零点为1,-3; 函数y=x3-7x+6的零点为-3,1,2. 求下列函数的零点: (1)y=lnx-3; (2)y=x3-7x+6. 返回 学点二 判断零点 判断函数f(x)=x2-x-6的零点是否存在，若存在,说明零点所在的一个区间. 【分析】要判断函数的零点的个数，实际就是考查方程x2-x-6=0的解的个数，即y=x2-x-6的图象与x轴的交点个数. 【解析】考查函数f(x)=x2-x-6 知图象为抛物线（如图所示）， 容易看出f(0)=-60,f(4)=60,f(-4)=140. 返回 【评析】 (1)方程的解与函数零点的关系是解决本题的桥梁； (2)体会数形结合和函数与方程的思想的运用. 由于函数f(x)的图象是连续曲线，因此,点B(0,-6)与点C（4,6）之间的那部分曲线必然穿过x轴，即在区间(0,4)内必有一个点x1,使f(x1)=0；同样在区间(-4,0)内也必有一个点x2，使f(x2)=0,所以函数f(x)=x2-x-6有两个零点，分别在区间(0,4)和(-4,0)内. 返回 求证：方程5x2-7x-1=0的根一个在区间(-1,0)上，另一个在区间(1,2)上. 证明:令f(x)=5x2-7x-1,则 f(0)=-1,f(1)=-3,f(-1)=11,f(2)=5. 由f(-1)0,f(0)0知在(-1,0)上f(x)有一个零点，即方程f(x)=0有一根， 同理，由f(1)0,f(2)0知方程在(1,2)上也有一根. 返回 学点三 函数值符号的判定 函数y=-2x2+x+3的自变量x分别在什么范围内取值时，函数值大于0，小于0，等于0？ 【分析】首先求出函数的零点，然后利用零点，结合函数的两个