北师大版课题学习猜想证明拓广.ppt

* * * * * * * * * * * 教学目标： 1.知识与技能 (1)经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验. （2）在问题解决过程中综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识. 2.过程与方法 在探究过程中,感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会证明的必要性. 3.情感、态度与价值观. 在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力. 教学重点难点 1.重点:通过对一个开放性、探究性的课题的探索，获得探索和发现的体验，体现归纳、综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法. 2.难点:处理问题的策略和方法. 问题1、（1）任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？ 解：设给定的正方形的边长为a，则其周长为4a,面积为a2,若面积变为2a2,则其边长应为 此时周长应为 它不是已知给定的正方形的周长的2倍.所以无论从哪个角度考虑,都说明不存在这样的正方形. (2)任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍? 矩形的形状太多了,我们可以先研究一个具体的矩形. 合作交流，解读探究 如果已知矩形的长和宽分别为2和1,结论会怎样呢?你是怎么做的?和同伴交流. 总结如下:有三种思路可以选择: (1)先固定所求矩形的周长,将问题化为方程x(6-x)=6是否有解的问题. (2)先固定所求矩形的面积,将问题转化为方程x+4/x=6是否有解的问题. (3)也可以根据已知矩形的长和宽分别为2和1,那么其周长和面积分别为6和2,所求矩形的周长和面积应分别为12和4,设其长和宽分别为x和y,则得方程 组 然后讨论它的解是否符合题意. 议一议:当已知矩形的长和宽分别为3和1,是否还有相同的结论?已知矩形的长和宽分别为4和1,5和1,……n和1呢？ 更一般地，当已知矩形的长和宽分别为n和m时，是否仍然有相同的结论？ 解:(1)当已知矩形的长和宽分别为3和1,那么其周长和面积分别为8和3,所求矩形的周长为16,面积为6,设所求矩形的长为x,则宽为8-x,则有x(8-x)=6, 即x2-8x+6=0.解得: 经检验符合题意,所以存在一个矩形,长为 宽为 解:当已知矩形的长和宽分别为n和m时,那么其周长和面积分别为2(m+n),和mn,所求的矩形周长和面积为4(m+n)和2mn.设所求矩形的长为x,那么宽为2(m+n)-x,根据题意,得x[2(m+n)-x]=2mn. 整理得,x2-2(m+n)x+2mn=0 解得: 结论: 任意给定一个矩形,一定存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍. 经检验x1,x2符合题意,所以存在一个矩形,它的长为 宽为 练一练:当已知矩形的长和宽分别为n和m时，是否仍然有相同的结论？ 挑战自我 1.观察下列各式: 你能得到怎样的结论?并证明你的结论. 解题思路:通过类比引伸推广,归纳出一般结论,解题关键是探索归纳,猜想. 2.已知:(1)如图,AB⊥BD于点B,CD⊥BD于点D, AD和BC相交于点E,EF⊥BD于点F. 求证: (2)若将图1中的垂直改为斜交,如图2,AB//CD,AD与BC相交于点E,EF//AB交BD于点F,则(1)的结论还成立吗?如果成立,请给予证明;不成立,请说明理由. (3)猜想SΔABD、SΔBED和SΔBDC有什么关系?并证明你的猜想. 超越自我:已知等边ΔABC和点P,设点P到ΔABC三边AB,AC,BC的距离分别为 h1,h2,h3 .ΔABC的高为h. 若点P在一边BC上如图(1),此时h3=0,可得结论:“h1+h2+h3=h”，请直接应用上述信息解决下列问题： 当点P在ΔABC内,如图(2),点P在ΔABC外,如图(3),这两种情况时,上述结论是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立, h1,h2,h3 与h又有怎样的关系,请写出你的猜想,并证明你的猜想. N Q 证明:过P作NQ//BC交AB、AC、AM分别为N、Q、K.由题意得:h1+h2=AK K ∵NQ//BC,PF⊥BC,AM⊥BC, ∴∠KPF=∠MFP=∠KMF=900 ∴四边形KMFP是矩形 ∴KM=PF=h3 ∵AK=AM-KM ∴h1+h2=h-h3 即h1+h2+h3=h 图3又有怎样的关系呢? 解:如图2,当点P在ΔABC内部时,结论:“h1+h2+h3=h” 仍然成立. * * * * * *