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為何要做Reduce? Q1 reduce 成Q2，表示Q1問題可以由處理Q2問題的演算法所解決。 Q1之Input Reduce Q2之Input 解Q2之Algo. Q2之Output Reduce Q1之Output 即：f(x) 即： x?L1 ? f(x)?L2 * 前述定義隱含一些概念： Q1問題可以由處理Q2問題的演算法所解決。若Q2問題有一個有效率的演算法，可以在多項式時間內將Q2問題給解掉，表示Q1問題也一定可以在多項式時間內被解掉。 因此，函數 f(x) 必須是要 polynomial-time computable。 這是因為解Q1問題的時間相當於 “函數f(x)的轉換時間 + 解Q2問題之演算法的解題時間” 所構成。 若轉換時間過長，則解Q2問題之演算法就算是再快，也無助於加速對Q1問題之求解。 可表示成 L1 ? L2 或 Q1 ? Q2 * Q1 ? Q2的意義： Q2問題比Q1問題難 (雖然兩者是同一類型的問題) 若Q2有解，則Q1就有解 想要証明Q1和Q2一樣難，則需証出Q1 ≤pQ2 且Q2 ≤pQ1 若Q1 ? Q2且Q2 ? Q3，則Q1 ? Q3 (遞移性) 範例：假設現在有下列兩個問題： Q1: 一台電梯中有4個人，其中是否有三個人彼此互相認識? Q2:有一個4個頂點之無向圖G=(V,E)，其中是否存在一個三角形? 証明Q1 ? Q2。 * 解： 有一個函數f，使得： 人i → 頂點vi 人i 和 人j 互相認識 → (vi, vj)?E 人i 和 人j 互不認識 → (vi, vj)?E 說明此函數f 為polynomial time computable 因為轉換後的圖G=(V,E)，是以相鄰矩陣表示，該矩陣的大小為 |V|2。若要將該矩陣填滿值則需時 O(|V|2)。 ∴函數f為Polynomial time computable 說明該函數f(x)使得對所有x而言，x?L1 ? f(x)?L2 有三人互相認識 ? 有一個三角形在圖形G中 (証明?)：人I 和 人j和 人k互相認識 ? vi， vj和vk兩兩有邊相連? vi， vj和vk形成三角形 (証明?)：(理由同上)，人I 和 人j和 人k互相認識 Q1 ? Q2得証 此函數為一個虛的轉換概念 * P: 是一群Decision Problem的集合，這些問題皆可利用Deterministic Algorithm於Worst Case的情況下，在Polynomial Time的複雜度內被解決。 NP: 所謂 “NP” 是指Non-deterministic與Polynomial兩個單字的簡寫 這類的問題只要給個解答，可以在Polynomial Time的複雜度內很快地驗證 (Verify) 出這個解答是否正確。 由於決定性演算法為非決定性演算法的一個特例，且容易找到答案也會容易驗証答案。因此，P可視為NP的一個特例。 P?NP (?) P=NP (?) P, NP, NP hard, NP complete * NP-hard: 是一群Decision Problem的集合。當 Q ? NP-hard 若且唯若所有屬於NP的Decision Problem Q’ (?Q’?NP) 皆可多項式時間轉化成Q (Q’?Q) 此類問題至今仍未找到一個多項式複雜度的決定性演算法，且一般相信沒有多項式複雜度的決定性演算法存在。 NP-complete: 是一群Decision Problem的集合。 若某一個問題Q屬於NP-complete，則滿足以下兩個條件: Q屬於NP Q屬於NP-hard * 一般而言，理論學家相信上述問題之集合圖示如下: NP-hard與NP-complete的關係： 所有NP-complete問題都是NP-hard問題 (如：旅行推銷員問題)；但是NP-hard問題不見得是NP-complete問題 (如：程式停止問題，它不是NP問題) NP-complete ? NP-hard 如果有一個NP-hard問題能夠找到多項式複雜度的決定性演算法，則所有NP-complete問題也都存在多項式複雜度的決定性演算法。 NP NP-hard P NP- complete * Nearly all of the decision problems are NP problems. In NP problems, there are some problems which have polynomial algorithms. They are called P problems. Every P problem must be an NP problem. There are a large
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