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从“费马点”说起 应立君（余姚市实验学校） 前言 解题 题海战术 通性通法 过程与结果 内化 一、走近费马点 1．（浙教版数学八下P82）设计题 你听说过费马点吗？如图4—11，P为△ABC所在平面上一点。如果∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P就叫做费马点。费马点有许多有趣并且有意义的性质，例如，平面内一点P到△ABC三顶点的距离之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小。假设A,B,C表示三个村庄，要选一处建车站，使车站到三个村庄的公路路程的和最短。若不考虑其他因素，那么车站应建在费马点上。 请按下列步骤对费马点进行探究： 查找有关资料，了解费马点被发现的历史背景； 在特殊三角形中寻找并验证费马点。例如，当△ABC是等边三角形、等腰三角形或直角三角形时，费马点有哪些性质？ 把你的研究结果写成一篇小论文，并通过与同学交流来修改完善你的小论文。 2．（2009年浙江省湖州市中考题）若P为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点. （1）若点为锐角的费马点，且，则的值为________； （2）如图，在锐角外侧作等边′连结′. 求证：′过的费马点，且′=. 3．（2010年湖南省永州市中考数学试题）探究问题： (1)阅读理解： ①如图(1)，在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P 为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC 的值为△ABC的费马距离． ②如图(2)，若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB·CD+BC·DA=AC·BD，此为托勒密定理． (2)知识迁移： ①请你利用托勒密定理，解决如下问题： 如图(3)，已知点P为等边△ABC 外接圆的弧BC上任意一点．求证：PB+PC=PA ②根据(2)①的结论，我们有如下探寻△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120度)的费 马点和费马距离的方法： 第一步：如图(4)在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆； 第二步：在弧BC上任取一点，连结、、、 易知 ; 第三步：请你根据(1)①中定义，在图(4)中找出△ABC的费马点P，并请指出 线段 的长度即为△ABC的费马距离 (3)知识应用： 2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水.已知三村庄A、B,C构成了如图(5)所示的△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120o)，现选取一点P 打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的 输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值． 4．（2008年广东省中考题）已知正方形ABCD内一动点E到A,B,C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长。 5．（2009年天津市竞赛题）已知点P是锐角三角形ABC内的一个点，且使PA+PB+PC最小。试确定点P的位置，并证明你的结论。 6．(2011年北京市竞赛题)如图，矩形ABCD是一个长为1000m，宽为600m的货场，A、D是入口。现拟在货场内建一个收费站P，在铁路线BC段上建一个发货站台H，设铺设公路AP、DP及HP之长度和为。 （1）求的最小值；（2）请指出当取最小值时，收费站P和发货站台H的几何位置。 二、探究费马点 1．来历： 费马在阅读“将军饮马”问题时，联想到“如何确定平面内到三个已知点距离和最小的点？” 写信给托里拆利，托里拆利解决了这个难题，后来斯坦纳进行了完善和推广。 2．结论：三角形的费马点： 平面上，到一个已知三角形三个顶点的距离和最小的点叫做这个三角形的费马点． （1）当已知三角形最大内角小于120°时，费马点在该三角形内，且与任两个顶点的连线的夹角均为120°； （2）当已知三角形最大内角大于或等于120°时，费马点就是这个最大内角的顶点． 3．证明．求三条发散的线段和的最小值，一般通过图形变换，形成确定两端点的折线，运用“两点之间线段最短”解决． 1）当三角形的最大内角小于120°的情形． 已知：如图1，P为△ABC内一点，∠APB=∠BPC=∠CPA=120°．设平面内有一点． 求证：PA+PB+PC≤． 证明：如图2，分别以AP、AC为边作正三角形，连结，得△APC≌△，易知在同一直线上，PA+PB+PC=≤． 2）当三角形的最大内角不小于120°的情形． 4．如何确定费马点的位置（最大内角小于120°的情形）． 分别以BC、AC为边向外作正三角形，连结，交点即为所求费马点P。 （连结PC，先证明△≌△，得∠PAC=∠，所以四点共圆，得∠APC