二维离散型随机变量的分布律及性质.PPT

二、 二维离散型随机变量的边缘概率分布 二维随机变量 作为一个整体，具有分布函数 ,而 和 都是随机变量，也分别具有分布函数，记之为 ， ．依次称为二维随机变量 关于 和 的边缘分布函数．边缘分布函数可以由 的分布函数 所确定，事实上 即 （2.2） 同理 （2.3） 对离散型随机变量，由（2.1）和（2.2） 可得： 设 是二维离散型随机变量，它的概率分 布如表3-1所示，那么 同理可得关于 的边缘概率分布也是离散的，它的概率分布如表3-4.其中： 以后把 记作 。因此关于 的边缘概率分布也是离散的，它的概率分布如表3-3. 例2 设二维离散型随机变量 的概率分布如表3-5,求关于 及关于 的边缘概率分布. 解： 解 ：可能取的值为数组（1，2）、（2，1）、(2，2).下面先算出取每组值的概率．第一次取得1的概率为 ，第一次取得1后，第二次取得2的概率为1.因此，按乘法定理，得 第一次取得2的概率为 ，第一次取得2后，第二次取得1、2的概率都为 ． 同理可得 于是，所要求的概率密度 如表3-2. 解： 求得边缘概率分布如表3-6所示,我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上，如上表所示，这便是“边缘分布律”这个词的由来． 三、 二维离散型随机变量的条件概率分布 前面第一章讨论过事件的条件概率．在事件 发生的条件下事件 发生的条件概率为 这里 对二维随机的变量 ，我们考虑在其中一个变量 取固定值的条件下，另一个变量的概率分布．这样 得到的 或 的概率分布叫条件分布． 对二维离散型随机变量 ,设 ,考 虑在随机变量 取得可能值 的条件下，随机变量 取它的任一可能值 的条件概率 由上述随机事件的条件概率公式可得： (2.4) 易知，上述条件概率满足概率分布的性质 同理，设 ，则可得到在 时随机变量 的条件概率分布为： (1) (2) 且 (1) (2) 例3 设二维离散形随机变量 的概率分布如表3-7, 求 时关于 的条件概率分布及 时关于 的条件概率分布。 解： 解 由 得 的条件概率分布为： 由 得 时 关于 的条件概率分布为： 求得边缘概率分布为: 四、 独立性 下面借助于随机事件的相互独立性，引入随机变量的相互独立性的概念，已知任二事件 相互独立的充分必要条件是: ,从而有如下定义 定义 设 及 ， 分别是二维随机变量 的联合分布函数和边缘分布函数．若对所有的 有 即 = （2.6） 则称随机变量 是相互独立的． 当 为离散型随机变量时， 是相互独立的条件（2.6）式等价于：对于 的所有可能取值 有 反之，若存在 使得 ， 则称 不独立． 即 (2.7) * * * * * * * * * * * * * * §2 二维离散型随机变量的分布律及性质 一、 二维离散型随机变量的联合概率分布 定义 若二维随机变量 的可能取值的全体为有限或可数多个数组，则称 为二维离散型随机变量． 象一维离散型分布那样，可以用一个概率分布来表达 二维离散型分布．设二维离散型随机变量 可能 的取值为 , 记 则 的联合概率分布律（简称分布律）也可用 如下表3-1表示： 其中： 对二维离散型随机变量，由图3-1知离散型随机变 量 和 的联合分布函数为：