二阶线性偏微分方程的分类与总结.PPT

数学物理方程 第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结 §1 二阶线性偏微分方程的分类 第四章 二阶线性偏微分方程 的分类与总结 §3 三类方程的比较 在前面的章节中，我们分别讨论了弦振动方程、热传导方程与拉普拉斯方程。这三类方程的形状很特殊，它们是二阶线性偏微分方程的三个典型代表。一般形式的二阶线性偏微分方程之间的共性和差异，往往可以从对这三类方程的研究中得到。本章中，我们将以这三类方程的知识为基础，研究一般形式的二阶线性偏微分方程，并对这三类方程的性质进行比较深入的分类和总结。 §1.1 两个自变量的方程 §1 二阶线性偏微分方程的分类 §1.2 两个自变量的二阶线性 偏微分方程的化简 §1.3 方程的分类 §1 二阶线性偏微分方程的分类 遵循由简单到复杂的认知规律，我们先研究两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类问题。 前面遇到的一维热传导方程、弦振动方程和二维拉普拉斯方程都是两个自变量的二阶线性偏微分方程。不过它们的形式特殊，若用(x,y)记自变量，一般的二阶线性方程总可以写成如下的形状 §1-1 两个自变量的方程 在前面弦振动方程的达朗贝尔解法(行波法)的学习中，我们已看到变量变换的意义。变换是研究微分方程的一个有效手段，通过适当的变换往往可以把复杂的方程转化为简单的，把不易求解的方程转化为容易求解的。 方程(4.1)的二阶导数项 称为它的主部。现在研究在什么样的自变量变换下，方程的主部可以得到简化。 §1-1 两个自变量的方程 §1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简 设(x0,y0)是区域Ω内一点，在该点的邻域内对方程(1)进行简化。为此我们作下面的自变量变换 在高等数学中，我们已经知道：如果上述变换是二次连续可微的，且雅可比行列式 在(x0,y0)点不为零，那么在点(x0,y0)的邻域内，变换(4.3)是可逆的，也就是存在逆变换 也就是说，方程(4.1)可以采用新的自变量ξ,η表示为 运用复合函数的求导法则 §1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简 注意到(4.7)的第一个和第三个等式形式完全相同，因此，如果我们能选择到方程 的两个函数无关的解φ1(x,y)和φ2(x,y)，那么，将变换取为ξ=φ1 (x,y)和η=φ2 (x,y)，方程(4.6)的系数 。 这样就达到了简化方程(4.1)的主部的目的。下面考察这种选取的可能性。 §1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简 我们知道，方程(4.8)的求解可以转化为下述常微分方程在(x,y)平面上的积分曲线问题： 设φ1(x,y)=c 是方程(4.9)的一族积分曲线，则z=φ1(x,y)是方程(4.8)的一个解。称方程(4.9)的积分曲线为方程(4.8)的特征线，方程(4.9)有时也称为方程(4.8)的特征方程。 显然方程(4.9)可以分解为两个方程 §1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简 这样根据 的符号不同，我们可以选取相应的变换代入方程(4.6) ，从而得到不同的化简形式 这三个方程分别称为二阶线性偏微分方程的标准形式。 §1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简 由前面的讨论可知，方程(4.1)通过自变量的可逆变换(4.3)化为那一种标准形式，主要决定于它的主部系数。也就是说由l,m平面上的二次曲线 的性质而定。由于这个曲线可以是椭圆、双曲线或抛物线，因此我们相应地定义方程在一点的类型如下： 若方程(4.1)的主部系数 在区域Ω中某一点(x0，y0)满足 则称方程在点(x0，y0)是双曲型的； 则称方程在点(x0，y0)是椭圆型的。 则称方程在点(x0，y0)是抛物型的; 相应地， (4.12)、(4.13)和(4.14)这三个方程分别称为双曲型、抛物型和椭圆型(二阶线性)偏微分方程的标准形式。 §1-3 方程的分类 如果方程在区域Ω中每一点上均为双曲型，那么我们称方程在区域Ω中是双曲型的。类似的，对椭圆型和抛物型也有同样的定义。如果一个方程在区域Ω中的一部分区域表现为双曲型，在另一部分表现为椭圆型，而在分界面上表现为抛物型，那么，这样的方程在在区域Ω中称为混合型的。 举例： 容易看出，如果点(x0，y0)上方程(4.1)表现为双曲型或椭圆型，那么一定存在该点的一个领域，使方程在这个领域内是双曲型或椭圆型的。但如果这个点上方程(4.1)表现为抛物型，则不一定存在一个领域，使方程在这个领域内表现为抛物型。 按照刚才的分类方法，很容易看出一维弦振动方程是双曲型的，一维热传导方程是抛物型的