高三年级数学不等式选讲知识点和练习题.doc

. . word完美格式 不等式选讲 一、绝对值不等式 1．绝对值三角不等式 定理1：如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时，等号成立。 注：（1）绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当，不共线时，|+|≤||+||，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。 （2）不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中“=”成立的条件分别是：不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，在侧“=”成立的条件是ab≥0，左侧“=”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|;不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≤0，左侧“=”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|。 定理2：如果a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c) ≥0时，等号成立。 2．绝对值不等式的解法 （1）含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集 不等式 a＞0 a=0 a＜0 |x|＜a {x|-a＜x＜a} |x|＞a {x|x＞a 或x＜-a } {x|x∈R且x≠0} R 注：|x|以及|x-a|±|x-b|表示的几何意义（|x|表示数轴上的点x到原点的距离；| x-a |±|x-b|）表示数轴上的点x到点a,b的距离之和（差） （2）|ax+b|≤c(c＞0)和|ax+b|≥c(c＞0)型不等式的解法 ①|ax+b|≤c-c≤ax+b≤c; ②| ax+b|≥c ax+b≥c或ax+b≤-c. （3）|x-a|+|x-b|≥c(c＞0)和|x-a|+|x-b|≤c(c＞0)型不等式的解法 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。 二、证明不等式的基本方法 1．比较法 （1）作差比较法 ①理论依据：a＞ba-b＞0;a＜b a-b＜0. ②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论。 注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系。 （2）作商比较法 ①理论依据： ②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论。 2．综合法 （1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫做推证法或由因导果法。 （2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式。 3．分析法 （1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法。 （2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止。 注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚。当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程。 4．放缩法 （1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法。 （2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键。 5.除此之外还有反证法和数学归纳法 【绝对值不等式习题】 【例1】不等式的解集为 （A）[-5.7] （B）[-4,6] （C） （D） 【答案】D 【解析】由不等式的几何意义知，式子表示数轴的点与点（5）的距离 和与点（-3）的距离之和，其距离之和的最小值为8，结合数轴，选项D正确 【例2】 已知集合，则集合=________. 【答案】 【解析】∵， ， ∴. 【例3】对于实数x，y，若，，则的最大值为 .【答案】5 【例4】不等式的解集是______. 【解析】。由题得 所以不等式的解集为。 【例5】若关于x的不等式存在实数解，则实数的取值范围是 【答案】 【解析】：因为所以存在实数解，有或 【例6】已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|. （I）证明：-3≤f（x）≤3；（II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集. 解：（I） 当 所以 （II）由（I）可知， 当的解集为