课件：三次B样条曲线.ppt

数字图像处理 B 样条曲线的性质 2.几何不变性 由于定义式所表示的B样条曲线是参数形式，因此，和Bezier曲线一样，B样条曲线的形状和位置与坐标系选择无关。 3. 连续性 当给定的m+n+1个控制顶点Pi (i=0，1，…，m+n)互不相重，则所控制的整条B样条曲线具有n-1阶几何连续 (G n-1)。当给定的控制顶点相邻最大重顶点数为h（即h 个控制顶点重合在一起），则整条B样条曲线具有n-h-1阶几何连续(G n-h-1)。 数字图像处理 B 样条曲线的性质 4. 对称性 根据B样条曲线的基函数的对称性可推导 它表明了B样条曲线段的起点和终点的几何性质完全 相同。 数字图像处理 B 样条曲线的性质 5.递推性 n次B样条曲线段的递推曲线表示形式： 数字图像处理 B 样条曲线的性质 6. 保凸性 B样条曲线和Bezier曲线一样，也具有保凸性。即当所有的控制顶点形成一个平面凸的闭多边形时， Pk,n(t) 是一条平面凸曲线。 数字图像处理 B 样条曲线的性质 7. 凸包性 当t∈〔0，1〕时，有0≤Gi,n(t)≤1 (i=0，1，…，n) 和 ，因此，根据凸包定义可知，对任何 t∈〔0，1〕，Pk,n(t) 必定在控制顶点构成的凸包之中。 如左图所示，六个控制顶点控制的三次B样条曲线由三段B样条曲线段组成。其中，每一条曲线段由四个顶点控制且包含在四个顶点构成的凸包之中。 数字图像处理 B 样条曲线的性质 8.变差缩减性 数字图像处理 2.4 二次B样条曲线 取n=2，则有二次B样条曲线的基函数如下 ： 二次B样条曲线段 是一段抛物线。 数字图像处理 二次B 样条曲线 二次B样条曲线的矩阵表示为： 它具有如下性质： 1. 端点位置： 2. 端点切矢： 数字图像处理 二次B 样条曲线 如左图所示，六个控制顶点控制的二次B样条曲线由四段B样条曲线段组成。其中，每一条曲线段由相邻的三个顶点控制。曲线段的起点和终点同控制顶点的连接边相切于连接边的终点位置。 数字图像处理 二次B 样条曲线 3. 当P0，P1，P2三顶点共线时，P0,2(t)(t∈〔0，1〕) 即蜕化为一段直线。 4. 当给定一组顶点P0，P1，…，Pm(m＞2)，若存在 Pi=Pi+1(0＜i≤m-2)，则二次B样条曲线经过顶点Pi， 且在此处是尖点。 三点共线的情况 尖点的情况 数字图像处理 2.5 三次B样条曲线 取n=3，则有三次B样条曲线的基函数如下： 三次B样条曲线段 为： 数字图像处理 三次B样条曲线 性质1：端点位置 性质2：端点切矢及二阶导数 数字图像处理 三次B样条曲线 P0 P3 P2 P1 三次B样条曲线的顶点位置和顶点切矢 数字图像处理 2.6 二、三次B样条曲线的应用 在曲线拟合设计中，B样条曲线主要可用于实验数据 平滑和要求局部交互式修改的自由曲线设计。当然，二、 三次B样条曲线及其变型，几乎可以应用到所有的要求具 有一次或二次几何连续的曲线造型场合。 (1)要求过插值端点； (2)封闭的二、三次B样条曲线； (3)插值二、三次B样条曲线； 数字图像处理 2.7 非均匀 B 样条曲线 前面介绍的B样条曲线实际上称为均匀(或等距节点)B样条曲线。B样条曲线是由B样条函数演化而来的。关于B样条函数的理论十分的丰富，现在简单的给出B样条基函数的递推公式： 给定参数 t 轴上的一个分割， 由下列递推关系所定义的 称为T 的 k阶(或k-1次)B样条基函数： 数字图像处理 非均匀 B 样条曲线 设 为给定空间的n个点,称下列参数曲线 为k阶(k-1次)的B样条曲线。称折线 为P(t)的控制多边形。 非均匀B样条曲线同样具有局部性，几何不变性，连续性，对称性，递推性，凸包性和变差缩减性等性质。 THANK YOU SUCCESS * * 可编辑 数字图像处理 可编辑 可编辑 数字图像处理 曲线和曲面 2. B 样条曲线 2.1: B样条曲线的定义 2.2: B样条曲线基函数性质 2.3: B样条曲线的性质 2.4: 二次B样条曲线 2.5: 三次B样条曲线 2.6: 二、三次B样条曲线的应用 2.7: 非均匀B样条曲线 1. 样条函数的概念 1.1: 一般样条函数的定义 1.2: 三次样条函数 1.3