课件：B样条基础.ppt

在一个位置上增加多个控制点将增加这个点的权值,将Bézier 曲线推向这个点. 4. Bézier曲线及其控制多边形的几何形状 Bézier 曲线的性质 如果只有一个控制点 P0，例如: n=0 那么，对于所有的t有 P(t) = P0 如果只有两个控制点 P0 和 P1，例如: n=1 那么公式简化为在两个控制点之间的一条直线段. 3个控制点形成一条抛物线,4个控制点是一条三次曲线,等等. 二、 B样条曲线的定义和性质 1. B样条曲线的引入 Bezier曲线是通过逼近特征多边形而获得曲线的，存在的不足是： 1）缺乏局部修改性, 即改变某一控制点对整个曲线都有影响. 2）n较大时，特征多边形的边数较多,对曲线的控制减弱。 3）幂次过高难于修改。（而在外形设计中，局部修改是随时要进行的） 1）逼近特征多边形的精度更高. 2）多边形的边数与基函数的次数无关。 3）具有局部修改性. 1972年，Riesenfeld等提出了B样条曲线。用B样条基函数代替Bernstein基函数； 2. B样条定义 设有控制顶点P0,P1,…,Pn,则k阶(k-1次)B样条曲线的数学表达式为: 其中Ni,k(t)是k-1次B样条曲线的基函数，也称Ｂ样条分段混合函数，其中每一个称为B样条。 B样条基函数是一个称为节点矢量的非递减的参数t的序列所决定的k阶分段多项式，也即为k阶（k-1次)多项式样条。 THANK YOU SUCCESS * * 可编辑 2. B样条定义 de Boor-Cox(德布尔—考克斯)递推定义： ， k=1 约定： 该递推公式表明：欲确定第i个k阶B样条Ni,k(t)，需要用ti ,ti+1 ,…ti+k 共k+1个节点，称区间[ti , ti+k]为Ni,k(t)的支撑区间。 曲线方程中，n+1个控制顶点Pi (i=0,1,…n) 要用到n+1个k阶B样条基Ni,k(t)。支撑区间的并集定义了这一组B样条基的节点矢量T=[t0 ,t1 ,…tn+k ]。 3. B样条的性质 (1) 局部支撑性 (2) 权性 (3) 微分公式 4. B样条曲线类型的划分 假定控制多边形的顶点为Pi(i=0,1…,n),阶数为k(次数为k-1)，则节点矢量是T=[t0,t1,…,tn+k]。B样条曲线按其节点矢量中节点的分布情况，可划分为4种类型： 均匀B样条曲线 节点矢量中节点为沿参数轴均匀或等距分布，所有节点区间长度Δi=ti+1-ti=常数0(i=0,1,…n+k-1)。这样的节点矢量定义了均匀的B样条基。例如:T=(0,1,2,3,4,5,6,7) 4. B样条曲线类型的划分 准均匀B样条曲线 与均匀B样条曲线的差别在于两端节点具有重复度k，这样的节点矢量定义了准均匀的B样条基。 均匀B样条曲线没有保留Bezier曲线端点的几何性质，即样条曲线的首末端点不再是控制多边形的首末端点。采用准均匀的B样条曲线解决了这个问题。例如:T=(0,0,0,1,2,3,4,5,6,7,7,7) 4. B样条曲线类型的划分