高中三角函数最值问题的一些求法.docVIP

. PAGE . 高中三角函数最值问题的一些求法 关于型三角函数式的最值，可以由三角函数的性质直接求出，如 ； ； 与在定义域内无最值。 一、直接应用三角函数的定义及三角函数值的符号规律解题 例1：求函数＝的最值 分析：解决本题时要注意三角函数值的符号规律，分四个象限讨论。 解： （1）当在第一象限时，有 （2）当在第二象限时，有 （3）当在第三象限时，有 （4）当在第四象限时， 综上可得此函数的最大值为4，最小值为-2. 二、直接应用三角函数的有界性（）解题 例1：（2003北京春季高考试题）设和分别表示函数的最大值和最小值，则等于（ ） （A）（B）（C） （D）-2 解析：由于的最大值与最小值分别为1,-1,所以,函数的最大值与最小值分别为,,即＝+（）=-2,选D. 例2：求的最值（值域） 分析：此式是关于的函数式，通过对式子变形使出现的形式，再根据来求解。 解：，即有 。因为， 所以 即 即，所以原函数的最大值是，最小值是。 三、利用数形结合 例：求的最大值与最小值 解析：此题除了利用三角函数的有界性求解外，还可根据函数式的特点，联想到斜率公式将原式中的看作是定点与动点连线的斜率，而动点满足单位圆，如上图所示。所以问题可转化为求定点到单位圆相切时取得的最值，由点到直线的距离得： ， 四、利用三角函数的单调性法 例1：(1996全国高考试题)当，函数的最值　　(A)最大值是1，最小值是－1　(B)最大值是1，最小值是　　(C)最大值是2，最小值是－2 (D)最大值是2，最小值是－1 ，因为，所以，当时，函数有最小值 －1,最大值2，选择D 例2：求的最值及对应的集合 分析：观察式子可知它并不能直接求出，须通过变形为，但也不符合用平均不等式求，考虑用单调性。 解答：令，则，且设= 上单调递增，所以 当时， ，此时， 当时，，此时， 五、可化为一次函数，的条件极值的三角函数式极值求法 例1：求函数 的极值 分析：由，上述问题实质上是求下述一次函数的条件极值问题，即求, ，其中,这里约束条件是由正弦函数的值域暗中给出的。 解： 1）当时, ； 2）当时, ； 说例2：求函数的最值，其中。 分析：在这里不能将它变形为关于或为未知数的二次式，所于只有考虑将它降为一次，此时根据正弦、余弦的二倍角公式即，，，然后代入化简得到即可求出。 解：因为 其中，且， 在这里 六、可化为二次函数的条件极值的三角函数式的最值求法。 例1：求函数最值 分析：因为故求的最值，实质上是求以为自变量的二次函数。可以用配方或数形结合求解。 即当设=时，变为在约束条件的条件极值。 解：因为 当 当 。七、换元法 例1:函数的最大值是______.(1990年全国高考题) 解析：　如果在同一个代数式中同时出现同角的正余弦函数的和与正余弦函数的积,常用换元法来解决问题, 这种方法可简化计算过程。设＝,则＝, 。函数可化为，时，函数最大值是。 说明：题目中出现与时，常用变形是“设和求积巧代换”，即设＝ 则＝。要特别注意换元后的取值范围。 例2： 求函数的最值。 解：设则 于是 。故当时，即时， 当时，即时， 八、可化为分式函数的条件最值的三角函数的最值问题 例1：求函数的最值。 分析：由令，则归为求（且）的最值，故可用判别式法求之。 解：由 因为这个一元二次方程总有实数根， 例2：（型的函数）求函数的最值（值域）。 分析：此函数的解析式与上例不同，分式中的分子含有的一次式，而分母是含有的一次式，不能直接解出或，通常是化作求解。 解法一：由得 （为辅助角）因为得由此解得函数的值域为 说明：对此类问题可通过万能公式代换求解，还可通过几何方法（数形结合）求解，现介绍如下。 解法二：令 ，则， 即若 即则满足条件若即 ，则由 ，有 函数的值域为 解法三：由， 得，设点 ，， 则可看作是单位圆上的 动点与连线的斜率。如右图所示， 直线的方程为，即，则圆心到它的距离 ，解得或。所以，即 ，所以函数的值域为 九、利用不等式求最值（其中） 利用上述不等式求最值时, 必须满足下列条件: 若个正数的和一定时,当且仅当它们相等时,其积取最大值. 若个正数的积一定时,当且仅当它们相等时,其和取最小值. 例1:当,求的最大值 解析:因为 ,所以 于是 = 所以 即 说明：解答此题后有一个新的体会就是研究形如（且）的值域是十分重要的,下面来看一下:已知函数（且）,求其最大值. 解:因为，所以 考察上式根号中的个因式之和为 。因而由平均值不等式得 当且仅当时，即，亦即时，等号成立 故当时，函数有最大值 例2:求函数的最小值。