两因素和多因素方差分析.ppt

第九章 两因素及多因素 方差分析 本章内容 9.1 两因素方差分析中的基本概念 9.2 固定模型 9.3 随机模型 9.4 混合模型 9.5 两个以上因素的方差分析 9.6 缺失数据的估计 9.7 变换 9.1 两因素方差分析中的基本概念 9.1.1模型类型 交叉分组设计(cross over design)：假设A药物 有a水平，B药物有b水平，有ab个剂量混合，每组重复n次。共有abn名病人参加实验。 对于两因素交叉分组设计的实验要采用两因素方差分析 固定模型：两因素实验中，两个因素都是固定因素时； 随机模型：两因素实验中，两个因素都是随机因素时； 混合模型：两因素实验中，一个因素是固定因素，另一个是随机因素时。 当A、B间不存在交互作用时，从B1变化到B2不以A水平的变化而改变，所以B1-B1，B2-B2两线平行(图9-1a); 当存在交互作用时，A的效应依B的水平而不同，所以B1-B1，B2-B2 两线不平行(图9-1b)。 9.1.3 两因素交叉分组实验设计的一般格式 两因素实验的典型设计：假定A因素有a水平，B因素有b水平，则每一次重复有ab次实验，设试验重复n次，则试验总次数为abn。数据以表9-1的形式出现。 表9-1中，xi..表示A因素第i水平的所有观测值的和；x.j.表示B因素第j水平的所有观测值的和；xij.表示A的第i和B的第j水平的所有观测值的和；x…表示所有观测值的和。 9.2 固定模型 9.2.1线性统计模型 观测值可以用以下线性统计模型描述： 其中?是总平均效应；?i是A因素第i水平的处理效应；βj是B因素第j水平的处理效应；(αβ)ij 是交互作用效应， εijk为随机误差，相互独立，且服从N(0，σ2)。 两因素交叉分组设计中，固定模型方差分析的零假设为： 9.2.2 平方和与自由度的分解 A因素引起的平方和SSA，B因素引起的平方和SSB，A、B交互作用引起的平方和SSAB及误差平方和分别是： 相应的自由度为： 相应均方为： 9.2.3 均方期望与统计量F的确定 9.2.4 平方和的简易计算方法 将(9.9)~(9.11)变形得： 其中 为校正项，用C表示。 误差平方和是通过计算重复间平方和得到的。(9.13)可以改写为： 交互作用平方和为： 例9.1 9.2.5 无重复实验时的两因素方差分析 观测值的线性模型： Σαi=Σβj=0;  例9.2 9.2.6 交互作用的判断(Tukey,1949) 将残余项平方和(SST-SSA-SSB)分解为具有1自由度的非累加（交互作用）的成分和具(a-1)(b-1)-1自由度的误差成分： 例9.3 9.2.7 多重比较 固定效应模型中，如果主效应显著，还应该在每一因素（例如A)的各水平的平均数之间做多重比较，仍然使用Duncan多范围检验；如果交互作用显著，则将B固定在某一水平，在该特定水平上，比较A因素各水平的平均数。 例如，将例9.1中的A因素固定在第二种原料上，比较不同温度对产量的影响。将产量依次排序： 如果考虑交互作用的话，就要比较全部ab次处理，才能得出哪些差异是显著的。这样比较的结果不仅包括主效应，而且包括交互作用。 9.3 随机模型 9.3.1 线性统计模型 随机模型的线性统计模型如下: 9.3.2 均方期望与统计量F的确定 方差分析与固定模型的分析一样，分别计算出SST，SSA，SSB，SSe。各均方的数学期望分别为： 从均方的数学期望可以看出， 的检验统计量是： 随机分析模型的方差分析表： 例9.4 9.4 混合模型 9.4.1线性统计模型 混合模型中，每一观测值xijk的线性统计模型为： 其中αi是固定效应，βj是随机效应，交互作用(αβ)ij为随机效应。Σαi=0，βj是服从N(0， )的随机变量。交互作用效应是平均数为0，方差为 正态随机变量。因为固定因素的全部交互作用效应之和为0，所以在固定因素的某个水平上，交互作用的成分不是独立的。 9.4.2 均方期望与统计量F的确定 固定因素效应的估计为： 例9.5 在随机模型和混合模型中，不设置重复，同样会有固定模型中的问题，即因素间的交互作用与实验误差无法区分，全部归于误差项。特别是在混和模型中，随机因素的个水平之间存在的差异，往往检查不出来，结果降低了实验的可靠性。因而，在条件允许的情