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三种时间序列模型 三种时间序列信号模型的适应性 自相关函数、功率谱与时间序列信号模型的关系 图 1.6.1 平稳随机序列的信号模型 1.6.1 三种时间序列模型 假设信号模型用一个p阶差分方程描述: x(n)+a1x(n-1)+…+apx(n-p) 　 =w(n)+b1w(n-1)+…+bqw(n-q) 式中, w(n)是零均值、方差为σ2w的白噪声; x(n)是要研究的随机序列。 （1.6.1） 1. 自回归-滑动平均模型（简称ARMA模型） 该模型的差分方程用（1.6.1）式描述， 系统函数用下式表示： 式中， 是自回归参数， 叫做滑动平均参数。 利用维纳辛钦定理给出其功率谱密度为 类似地，可得功率谱为 图1.6.1 ARMA(p,q) 随机过程模型 2. 滑动平均模型（Moving Average，简称MA模型） 　　当（1.6.1）式中ai=0, i=1, 2, 3, …, p时, 该模型称为MA模型。 模型差分方程和系统函数分别表示为： x(n)=w(n)+b1w(n-1)+…+bqw(n-q) H(z)=B(z) B(z)=1+b1z-1+b2z-2+…+bqz-q… 上式表明该模型只有零点, 没有除原点以外的极点， 因此此模型也称为全零点模型。 如果模型全部零点都在单位圆内部，则是一个最小相位系统。 MA模型的功率谱密度为 类似地，可得功率谱为 图1.6.2 MA(q) 随机过程模型 3. 自回归模型（Autoregressive, 简称AR模型） 　 　 当（1.6.1）式中bi=0, i=1, 2, 3, …，q时，该模型称为AR模型。模型差分方程和系统函数分别表示为： x(n)+a1x(n-1)+a2x(n-2)+…+apx(n-p)=w(n) A(z)=1+a1z-1+a2z-2+…+apz-p 上式表明该模型只有极点, 没有除原点以外的零点，因此该模型也称为全极点模型。只有当全部极点都在单位圆内部时， 模型才稳定。 AR模型的功率谱密度为 类似地，可得功率谱为 图1.6.3 AR(p)随机过程模型 关于ARMA、AR、MA模型的功率谱，可以做一个定性的描述： 由于MA模型是通过一个全零点滤波器产生，当有零点接近单位圆时，MA谱可能是一个深谷； 类似地，当极点接近单位圆时，AR谱对应的频率处会是一个尖峰； ARMA谱既有尖峰又有深谷。 滤波器长度：一般是指滤波器的单位脉冲响应的长度。 对于FIR滤波器或者MA模型, 其单位脉冲响应的长度是有限长的，长度就是系数的个数； 对于IIR滤波器或者AR模型、ARMA模型，其单位脉冲响应的长度则是无限长的。 滤波器阶数： 对于IIR滤波器或者AR模型、ARMA模型，阶数是指p的大小，如果用差分方程表示，则p就是差分方程的阶数。 对于FIR滤波器或者MA模型的阶数，则是指q的大小，或者说是它的长度减1。 1.6.2 三种时间序列信号模型的适用性 沃尔德（Wold）分解定理： 任意一个实平稳随机序列x(n)均可以分解成： x(n) =u(n)+v(n)，式中u(n)是确定性信号, v(n)是具有连续谱分布函数的平稳随机MA序列。 由Wold分解定理可知，AR模型或ARMA模型可用一个可能是无穷阶的MA模型表示，说明MA信号模型和ARMA信号模型具有普遍适用的性质。 柯尔莫格洛夫（Kolmogorov）定理： 该定理暗示了MA模型或ARMA模型可用一个可能是无穷阶AR模型来表示，从而说明了AR信号模型的适用性。 任意一个MA序列可用无限阶AR信号模型表示，或者用阶数足够大的AR信号模型近似表示。证明如下： b0=1 对上式进行Z变换得到 X(z)=B(z)W(z) 设MA序列为 这样 X(z)G(z)=(1+g1z-1+g2z-2+…)X(z)=W(z) 对上式进行Z反变换，得到 x(n)+g1x(n-1)+g2x(n-2)+…=w(n) 　上式表示的就是x(n)的AR信号模型差分方程，因此证明了一个时间序列可以用有限阶MA信号模型表示时，也可以用无限阶的AR模型表示。 B-1(z)=G(z)=1+g1z-1+g2z-2+… 设MA信号模型满足可逆性条件，即B-1(z)存在，令 对于ARMA模型也可以用无限阶AR模型表示。 设AR模型系统函数用HAR(z)表示： 令HAR(z)=H(z), 即 可以求出ci系数 一个ARMA模型可以用一个MA模型来表示： 用MA模型表示： i=0 i≥1 　　一般AR模型适合表示时间序列的功率谱有尖峰而没有深谷的信号，MA模型适合表示其功率谱有深谷而没有尖峰的信号，ARMA模型则适合尖峰和深谷都有