正余弦定理应用举例一.ppt

复习巩固 1.正弦定理 2.余弦定理 高度 角度 距离 1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量: ①距离问题、②高度问题、③角度问题、 ④计算面积问题、⑤航海问题、⑥物理问题等. 例1、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。 测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC＝45o， ∠ACB＝75o，求A、B两点间的距离。 分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形 解：根据正弦定理，得 答：A,B两点间的距离为 米。 ①两点能相互看到，但一点不能到达 需要测量BC的长、角B和角C的大小，由三角形的内角和，求出角A然后由正弦定理， 可求边AB的长。 水平距离的测量 基线 ②两点间能到达，但不能相互看到。 需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理， 可求得AB的长。 （3）两点能看到，但不能到达。 为了测定河对岸两点A、B间的距离。 A B C D 在岸边选定基线CD. 例2:要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边选取相距 米的C、D两地，并测得 ∠ADC=30°、∠ADB=45°、∠ACB=75°、∠BCD=45° A、B、C、D四点在同一平面上，求A、B两地的距离。 解：在△ACD中， ∠DAC=180°－（∠ACD+∠ADC） =180°－(75°+45°+30°)=30° ∴AC=CD= 在△BCD中， ∠CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） =180°－（45°+45°+30°）=60° 由正弦定理 ， 得 在△ABC中由余弦定理， ∴ 所求A、B两地间的距离为　　　米。 ③两点都能看到，但两点都不能到达 第一步:在△ACD中，求角∠DAC， 由正弦定理 求出AC的长； 第二步:在△BCD中求出角∠DBC， 由正弦定理 求出BC的长； 第三步:在△ABC中,由余弦定理 求得AB的长。 水平距离的测量 练习1、一艘船以32n mile / h的速度向正北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东30o的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东75o的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？ [例3].在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的 方向,距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以 10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜, 问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ 分析 如图所示，注意到最快追上走 私船且两船所用时间相等，若在D 处相遇，则可先在△ABC中求出BC， 再在△BCD中求∠BCD. 题型二 与角度有关的问题 则有CD=10 t，BD=10t. 在△ABC中，∵AB= -1，AC=2， ∠BAC=120°, ∴由余弦定理， 得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC =（ -1）2+22-2×（ -1）×2×cos 120°=6, ∴BC= ， 即∠CBD=90°+30°=120°， 在△BCD中，由正弦定理，得 ∴∠BCD=30°.即缉私船北偏东60°方向能最快追上走私船. 解:设缉私船用t h在D处追上走私船， 练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是55°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为2m，AB与水平线之间的夹角为5°，AC长为1m，计算BC的长（精确到0.01） 练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是55°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为2m，AB与水平线之间的夹角为5°，AC长为1m，计算BC的长（精确到0.01m）． 【分析】例题中涉及一个怎样的三角形？ 在△ABC中已知什么，要求什么？ C A B 练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是55°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为2m，AB与水平线之间的夹角为5°，AC长为1m，计算BC的长．（精确到0.01） 已知△ABC中AB＝2m