函数极限的求法.docVIP

序言 极限研究的是变量在变化过程中的趋势问题。数学分析中所讨论的极限大体上分为两类：一类是数列的极限，一类是函数的极限。两类极限的本质上是相同的，在形式上数列界限是函数极限的特例。因此，本文只就函数极限进行讨论。函数极限运算是高等数学的一个重要的基本运算，一部分函数的极限可以通过直接或间接的运用“极限四则运算法则”来求解，而另一部分函数极限需要通过特殊方法解决。求函数极限的方法较多，但是每种方法都有其局限性，都不是万能的。对某个具体的求极限的问题，我们应该追求最简便的方法。在求极限的过程中，必然以相关的概念、定理以及公式为依据，并借助一些重要的方法和技巧。本文给出了十二种求极限的方法，每种方法都是以定理或简述开头，然后以例题来全面展示具体的求法。下面我们就根据函数的特点分类进行讨论。 一、函数极限的定义 定义一：若当x无限变大时，恒有|f(x)-a|，其中是可以任意小的正数，则称当x趋向无穷大时，函数f（x）趋向于a，记作f(x)=a或f(x)→a(x→+)。 定义二：若当x无限接近时，恒有|f(x)-a|，其中是可以任意小的正数，则称当x趋向时，函数f（x）趋向于a，记作f(x)=a或f(x) →a(x-)。 二、函数极限的求法 下面我们以相关的概念、定理及公式为依据，解决常见函数极限的求解方法： 直接代入法 适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为。 例1：求 分析：由于 (2+x-5)=2+x-5=2·+2-5=5, （3x+1）=3x+1=3·2+1=7 所以采用直接代入法。 解：原式=== 2、利用极限的四则运算法则求极限 这是求极限的基本方法，主要应用函数的和、差、积、商的极限法则及若干基本函数的极限结果进行极限的计算，为此有事往往要对函数作一些变形。 定理 若 f(x)=A g（x）=B （1）[f(x)±g(x)]= f(x) ± g(x)=A+B (2) [ f(x)·g(x)]= f(x) · g(x)=A·B (3)若B≠0 则： == (4) C·f(x)=C·f(x)=CA （C为常数） 上述性质对于x→，x→+，x→-时也同样成立 例2：求 解： == 3、利用极限定义求解 函数极限-定义： =A: 当0|x-|时，|f（x）- A | =A: 当-x-0时， |f（x）- A | =A: 当0 x-时，|f（x）- A | 当|x|M时，|f（x）- A | 当xM时，|f（x）- A | 当x-X时，|f（x）|G 例3：用极限定义证明：=1 证：由= == 取= 则当0|x-2|时，就有 由函数极限-定义有：=1 4、利用无穷小量的性质求解 性质1、无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量 性质2、无穷小量与无穷大量的关系：若在自变量的同一变化过程中f(x)为无穷小量，且f(x)≠0,则为无穷大量，反之亦然。 性质3、乘积因子的等价无穷小量代换： 这函数f、g、h在内有定义，且有f(x)~g(x) (x→) 若f(x)h(x)=A，则g(x)h(x)=A; 若=B； 当x→0时，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~~ln(x+1)并且1-cosx~。 例4：求xsin 解：因为|sin|≤1，所以|sin|是有界变量，又x=0， 所以当x→0时，xsin是有界变量与无穷小量的乘积，根据无穷小量的性质可知，xsin是无穷小量，所以xsin=0 注意：（1）无穷多个无穷小量之和不一定是无穷小量。例如，当x→，是无穷小量，2x个这种无穷小之和的极限显然为2。 （2）无穷多个无穷小量之积也不一定是无穷小量。 （3）无穷大量乘以有界量不一定是无穷大量。例如，当 x→时，是无穷大量，是有界量，显然·→0。 （4）X→*下，f(x)0，其极限f(x)未必大于0，例如，f（x）=显然f(x)=0. 5、利用无穷大量与无穷小量的关系求解 例5：求 解：因为-4=0，5x=10，所以我们可以求出==0 这就是说，当x→2时，为无穷小量，由于恒不为零的无穷小量的倒数是无穷大量，所以为x→2时的无穷大量，即= 6、利用初等函数的连续性质求解（适用于求函数在连续点处的极限） 利用初等函数的连续性求极限主要应用下列结果： 若f(x)在处连续，则 f(x)= f()； 若（x）=A，y=f(u)在u=A处连续则f[(x)]=f(A); 若f(x)=A0, g(x)=B,则= 例6：（7x-6） 解：因为y=（7x-6）是初等函数，在定义域（，+）内是连续的，所以在x=1处也连续，根据连续的定义，极限值等于函数值，所以（7x-6）=（7