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初中数学培优辅导讲义
含绝对值一次方程的解法
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[例1]解方程 (1) (2)
解:| 1 – 2x | + 3 – 4 = 0 解:| 2x – 1 | = 3 + x [x ≥ - 3]
| 1 – 2x | = 1 2x – 1 = 3 + x 或 2x – 1 = - (3 + x)
1 – 2x = 1或 1 – 2x = - 1 x 1 = 4 或 x 2 =
x 1 = 0 或 x 2 = 1
★当方程中只含有一个绝对值时,可将绝对值看作一个整体来求解,再根据绝对值的定义去掉绝对值符号,最终达到解方程的目的。
解含绝对值方程的总原则是设法去掉绝对值符号,化为一般方程。由绝对值的定义:
可知,本题解法中,是先设法确定未知数的取值范围,从而得到绝对值中部分的正、负取值,最终达到去绝对值符号的目的。
【小试牛刀】
1、| x – 2 | - 2 = 0 2、 3、4 – 2 | 5 – x | = 3x
〖 x 1 = 4,x 2 = 0 〗 〖 x 1 =,x 2 = 〗 〖 x 1 = - 6,x 2 =(舍) 〗
[例2]解方程 | x - | 2x + 1 | | = 3
解:x - | 2x + 1 | = 3 或 x - | 2x + 1 | = - 3
| 2x + 1 | = x – 3 [x ≥ 3] 或 | 2x + 1 | = x + 3 [x ≥ - 3]
2x + 1 = x – 3 或 2x + 1 = - (x – 1) 或 2x + 1 = x + 3 或 2x + 1 = - (x + 3)
x 1 = - 4 (舍) x 2 = (舍) x 3 = 2 x 4 =
∴ 原方程的解为 x 1 = 2 ,x 2 =
【小试牛刀】
1、2 + | 3 - | x + 4 | | = 2x
〖 x 1 =(舍),x 2 = 9 (舍),x 3 = 3,x 4 =(舍) 〗
2、| | | x – 1 | - 1 | - 1 | - 1 = 0
〖 x 1 = 4,x 2 = - 2,x 3 = 2,x 4 = 0 〗
[例3]解方程| 3x – 2 | + | x + 1 | = 10
解:令3x – 2 = 0,x =;令x + 1 = 0,x = - 1
① 当x < - 1时, ②当 – 1≤ x <时 ③当x ≥时
- (3x – 2) – (x + 1) = 10 - (3x – 2) + x + 1 = 10 3x – 2 + x + 1 = 10
- 3x + 2 – x – 1 = 10 - 3x + 2 + x + 1 = 10 3x + x = 10 + 2 – 1
- 3x – x = 10 – 2 + 1 - 3x + x = 10 – 2 – 1 4x = 11
- 4x = 9 - 2x = 7 ∴ x =
∴ x = ∴ x = (舍)
∴原方程的解为x 1 =,x 2 =
★由于零是正、负的分界点,因此解题中所用的分类方法常被称为“零点”法。在解题时应注意分段后各自求得的解是否在相应的取值范围内,从而确定它是否是原方程真正的解。
【小试牛刀】
1、| x – 4 | - | x + 3 | = 2
〖 x = 〗
2、15 + | 2x + 3 | - 2 | 2 – 3x | = 0
〖 x 1 = - 2,x 2 = 〗
3、| x – 2 | - 3 | x + 1| = 2x – 9
〖 x = 〗
[思考]
1、已知ab 0,且| a | = 2,| b | = 7,求 a + b的值
解:∵| a | = 2,∴a = ±2, ∵| b | = 7,∴b = ±7
又 ∵ab 0, ∴a、b异号
∴a + b =
答:a + b = - 5 或 a
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