全概率公式.贝叶斯公式推导过程资料.docVIP

全概率公式.贝叶斯公式推导过程资料.doc

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全概率公式、贝叶斯公式推导过程 (1)条件概率公式 设A,B是两个事件,且P(B)0,则在事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率(conditional probability)为: P(A|B)=P(AB)/P(B) (2)乘法公式 1.由条件概率公式得: P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A) 上式即为乘法公式; 2.乘法公式的推广:对于任何正整数n≥ 全概率公式、贝叶斯公式推导过程 (1)条件概率公式 ? ? ? ? 设A,B是两个事件,且P(B)0,则在事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率(conditional probability)为: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?P(A|B)=P(AB)/P(B) (2)乘法公式 ? ? ? ? ?1.由条件概率公式得: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A) ? ? ? ? ? ? ? ? ?上式即为乘法公式; ? ? ? ? ?2.乘法公式的推广:对于任何正整数n≥2,当P(A1A2...An-1) 0 时,有: ? ? ? ? ? ? ? ? ?P(A1A2...An-1An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1A2...An-1) ? (3)全概率公式 ? ? ? ? 1. 如果事件组B1,B2,.... 满足 ? ? ? ? ? ? ? ?1.B1,B2....两两互斥,即 Bi?∩ Bj?= ? ,i≠j , i,j=1,2,....,且P(Bi)0,i=1,2,....; ? ? ? ? ? ? ? ?2.B1∪B2∪....=Ω ,则称事件组 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分 ? ? ? ? ? 设?B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分,A为任一事件,则: ? ? ? ? ? ?上式即为全概率公式(formula of total probability) ? ? ? ?2.全概率公式的意义在于,当直接计算P(A)较为困难,而P(Bi),P(A|Bi) ?(i=1,2,...)的计算较为简单时,可以利用全概率公式计算P(A)。思想就是,将事件A分解成几个小事件,通过求小事件的概率,然后相加从而求得事件A的概率,而将事件A进行分割的时候,不是直接对A进行分割,而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...Bn,这样事件A就被事件AB1,AB2,...ABn分解成了n部分,即A=AB1+AB2+...+ABn, 每一Bi发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|Bi),由加法公式得 ? ? ? ? ?P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(ABn) ? ? ? ? ? ? ? ?=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(PBn) ? ? ? ? 3.实例:某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产,各台机床次品率分别为5%,4%,2%,它们各自的产品分别占总量的25%,35%,40%,将它们的产品混在一起,求任取一个产品是次品的概率。 ? ? ? ? ? ? ? ? 解:设..... ? ? P(A)=25%*5%+4%*35%+2%*40%=0.0345 ? ? ? (4)贝叶斯公式 ? ? ? 1.与全概率公式解决的问题相反,贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因(即大事件A已经发生的条件下,分割中的小事件Bi的概率),设B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分,则对任一事件A(P(A)0),有 ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?上式即为贝叶斯公式(Bayes formula),Bi?常被视为导致试验结果A发生的”原因“,P(Bi)(i=1,2,...)表示各种原因发生的可能性大小,故称先验概率;P(Bi|A)(i=1,2...)则反映当试验产生了结果A之后,再对各种原因概率的新认识,故称后验概率 2,当P(A1A2...An-1) 0 时,有: P(A1A2...An-1An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1A2...An-1) (3)全概率公式 1. 如果事件组B1,B2,.... 满足 1.B1,B2....两两互斥,即 Bi ∩ Bj = ? ,i≠j , i,j=1,2,....,且P(Bi)0,i=1,2,....; 2.B1∪B

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