各种类型的微分方程及其相应解法资料.docVIP

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各种类型的微分方程及其相应解法 专业班级:交土01班 姓名:高云 学号:1201110102 微分方程的类型有很多种,解题时先判断微分方程是哪种类型,可以帮助我们更快解题,所以我们有必要归纳整理一下各类型(主要是一阶和二阶)的微分方程及其相应解法。 一、一阶微分方程的解法 1.可分离变量的方程 ,或 其特点是可以把变量x和y只分别在等式的两边,解法关键是把变量分离后两边积分。 例1.求微分方程的通解. 解 先合并及的各项,得 设分离变量得 两端积分得 于是 记则得到题设方程的通解 2.齐次方程 (1) (2) (a,b均不等于0) 例2求解微分方程 解 原方程变形为 令则方程化为 分离变量得 两边积分得 整理得 所求微分方程的解为 3.一阶线性微分方程 例3. , ; 解 将方程改写为 , 这里,,故由求解公式得 . 由初值条件,得. 所以初值问题的解为 例4.设非负函数具有一阶导数,且满足,求函数. 解:设,则,两边对求导,得 ,由已知 又 ,则 例5.设,其中满足下列条件: ,,且,. = 1 \* GB3 ① 求满足的一阶方程; = 2 \* GB3 ② 求的表达式. 解:(1) 由 , 可见,所满足的一阶微分方程为 . (2) 由通解公式有 . 将代入上式,得.于是 4.伯努利方程 二、二阶线性微分方程的解法 1.可降阶微分方程 (2) (3) 例6. 方程的通解为 . 解: 令,原方程变为 所以 3.二阶常系数齐次线性方程 例7. 解方程. 解:的特征方程为 则方程的通解为 例8.设 其中为连续函数,求. 解:原方程整理得 , 两边求导 , 再两边求导得 , 整理得 (初始条件到原方程中找) 解得 有关微分方程的题目有很多,不可能一一列举出来,但我们可以举一反三,开拓思维,这样我们的高数才会得以提高。

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