拉普拉斯变换及反变换课件.ppt

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练习4: 2.5 用拉氏变换法求解常微分方程 ,n 作Laplace变换 例1: 1 (t0) 0 (t≤0) 例 如图所示电路中,电压源为 , 求零状态响应电流i(t)。 i(t) R L (1)写出系统动力学方程 (2)作Laplace变换得 系统方框图 Ui(s) H(s) I(s) 作业: 解: 得零状态响应电流 Ui(s)= ?[ui(t)] =? ?-1[I(s)] i(t)= 而 (3)求出 Ui(s) H(s) I(s) (5)作Laplace反变换 (4)用部分分式法,求 * * * * * * * * * * * * * * * * * * 作业 1、 写出拉普拉斯变换定义式 2、 1 (s-1)2 __ 二、拉普拉斯反变换 1、由象函数求原函数 (2)经数学处理后查拉普拉斯变换表 f(t)=L-1[F(s)] (1)利用公式 较麻烦 象函数的一般形式: 2、将F(s)进行部分分式展开 等式两边同乘(s-s1) =0 例1 解: F(S) 例2 (m = n,用长除法) 解: F(S) (k1 , k2也是一对共轭复数) 假设只有两个根 设 解: 则 欧拉公式 例1 法一: 部分分式法展开,求系数。 法二: 将F2(s)改写为(s+? )2 + ?2 F(S) = 等式两边同乘 例1 等式两边乘 得 例2 等式两边乘 (4)一般多重根情况 练习1: 求其原函数 s 练习2: 因为mn, 故采用 同理可求 练习3: (t≥0) 机械工程控制基础 拉普拉斯变换及反变换 补充:拉普拉斯变换及反变换 拉氏变换对是求解常系数线性微分方程的工具。 把线性时不变系统的时域模型简便地进行变换,经求解再还原为时间函数。 概述 一、 拉普拉斯变换 (2)常用函数的拉普拉斯变换 (3)拉普拉斯变换的基本性质 二、 拉普拉斯反变换 内容 (1)定义 定义 当f(t)含有冲激函数项时,此项 ? 0 拉氏变换积分上限说明: 一、拉普拉斯变换 F(s)=?[f(t)] f(t)=? -1[F(s)] 表示为: 0— f(t) ,t ? [0,?)称为原函数,属时域。 原函数 用小写字母表示,如 f(t) ,i(t),u(t) F(s) 称为象函数,属复频域 。 象函数F(s) 用大写字母表示 ,如F(s) ,I(s),U(s)。 称为复频率 。 f(t) F(S) L L_ 拉普拉斯变换对,记为: 2.2 常用函数的拉普拉斯变换 (单位阶跃函数) t u(t) F(s)= ? ? (指数函数) F(s)= = 1 ? (单位脉冲函数) δ(t) t 0 (单位斜坡函数) f(t) t 0 F(s)=L[f(t)]= ? ? (幂函数) ? ? ? ? ? 常用函数的拉普拉斯变换表 t tn e-at te-at tne-at e-jwt u(t) δ(t) δn(t) 1 sn 1/s 1/s2 n! sn+1 n! (s+a)n+1 1 (s+a)2 1 s+a 1 s+jw 1 f1(t) e-?t t 0 例题 求图示两个函数的拉氏变换式 1 f2(t) e-?t t 0 解 由于定义的拉氏变换积分上限是0-,两个函数的拉氏变换式相同 当取上式的反变换时,只能表示出 区间的函数式 ? -1 2.3 拉普拉斯变换的基本性质 一、线性性质 ? ? ? 例1 ? 例2 ? ? 二、微分定理 ? ? 例1 ? ? ? ? 初态为r(0-)及r/(0-),原始值为e(0-)=0,求r(t)的象函数。 解:设r(t),e(t)均可进行拉氏变换即有E(S)=L[e(t)] , R(S)=L[r(t)] 对方程两端进行拉氏变换,应用线性组合与微分定理可得 [S2R(s)-Sr(0-)-r/(0-)]+a1[SR(s)-r(0-)]+a0R(s)=b1[SE(s)-e(0-)]+b0E(s) 整理合并得 (S2+a1S+a0)R(S)-(S+a1)r(0-)-r/(0-)=(Sb1+b0)E(s)-b1×0 例3 某动态电路的输入—输出方程为 三、积分定理 例 ? ? 四、时域平移 f(t) f(t-t0) 平移 ? 例1 例2 ? ? 五、 复频域平移 ? ? 例

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