连续随机变量的产生方法.docVIP

2.4 随机变量的产生方法 产生随机变量的方法有许多种，对于给定的随机变量，可根据其特点选择其中一种或几种方法。仿真对产生的随机变量首先是要求其准确性，即由某种方法产生的随机变量应准确的具有所要求的分布；其次是快速性要求，在离散事件仿真中，一次运行往往需要产生几万甚至几十万个随机变量，这样产生随机变量的速度将极大地影响仿真的效率。产生随机变量的方法主要有反变换法、舍选法、组合法、卷积法。 2.4.1 反变换法 反变换法是最常用且最直观的使用方法，它以概率积分变换定理为基础。 定理. 设是连续且严格单调上升的分布函数，它的反函数存在，且记为，即. (1) 若随机变量的分布函数，则 (2) 若随机变量，则的分布函数为 设随机变量的分布函数为，为得到随机变量的抽样值，先产生在区间上均匀分布的独立随机变量，由反分布函数得到的值即为所需要的随机变量：。这种方法是对分布函数进行反变换，因而取名为反变换法。 反变换法的原理可用图加以说明。 随机变量概率分布函数的取值范围为，现以在上均匀分布的独立随机变量作为的取值规律，则落在内的样本个数的概率就是；从而随机变量在区间内出现的概率密度函数的平均值为；当趋于0时，其概率密度函数就等于，即符合原来给定的密度分布函数，满足正确性要求。 当是离散随机变量时，其反变换法的形式略有不同，原因在于离散随机变量的分布函数也是离散的，因而不能直接利用反函数来获得随机变量的抽样值。下面讨论这类随机变量的反变换法。 设离散随机变量对应于取值，，…，的概率分别为，其中，且，其分布函数如图所示。 为使用反变换法获得离散随机变量，先将区间按的值分成个子区间，然后产生在区间上均匀分布的独立的随机数。根据的 值落在何区间，相应的随机变量就是所需要的随机变量。离散随机变量的反变化法的步骤如下： (1) 按的成递增顺序排列； (2) 产生； (3) 求非负整数，满足 (4) 令 反变换法是连续随机变量的普遍适用的方法，其关键是计算分布函数的反函数的显式表达式。 2.4.2 舍选法 舍选法的实质是从许多均匀分布的随机数中选出一部分，使其成为具有给定分布的随机数它适用于连续型或离散型，单变量或多变量的分布函数的反函数难以显式表达的情况。 设随机变量的密度函数为，的最大值为，的取值范围为。 若独立的产生两个区间内的均匀分布的随机变量，则是在区间内均匀分布的随机变量，若满足式：，则选取为所需要的随机变量，即，否则舍弃。 舍选法的原理可以用图加以说明。 从图形上看，在这块矩形面积上任投一点，的纵坐标为，横坐标为，若该点位于曲线下面，则认为抽样成功。成功的概率为下的面积除以总面积，下的面积的值等于分布函数的值。由于假设随机变量的取值范围为，因而该面积的值为1，那么成功的概率就是，成功抽样的点符合所需要的分布。 舍选法是根据的特征规定一个函数，对的要求是： (1) ； (2) ； 这样，令 ，则 从而可将其看作是一个密度函数，并用代替取样，以得到所需要的随机变量。 舍选法的步骤为： (1) 产生 (2) 由独立地产生随机变量 (3) 检验，若满足，则令，否则返回第一步。 2.4.3 组合法 当一个分布函数可以表示成若干个其他分布函数之和，而这些分布函数较原来的分布函数更易于取样时，则宜采用组合法。 设随机变量的分布函数可写成如下形式： 其中，，是其他类型的分布函数。或将随机变量的密度函数写成如下形式： 其中是某种类型的密度函数，与它相应的分布函数为。 则组合法产生随机变量的步骤如下： (1) 计算累积分布函数，，并令。 (2) 产生两个独立的均匀分布随机数和。 (3) 若，则的随机数从概率密度函数中产生，即根据获得服从的随机数，并取。 (4) 若不需要新的随机数，则停止，否则返回第二步。 2.4.4 近似法 近似法是指一种利用一些定理或公式来近似地产生所需要随机数的方法，这种方法一般用于分布函数比较复杂难以对其求解的情况，如正态分布。 (1) Box-Muller坐标变换法 该方法是Box and Muller提出的，设，是两个独立的随机变量，则其联合密度函数是 将其转换成极坐标形式： 则 其中为雅可比行列式，即 从而可得： 其中，分别为随机变量，的密度函数 它们相应的分布函数为： 对随机变量，来说，它们的分布函数均具有封闭形式，因而可以采用反变换法，即独立地产生两个区间上均匀分布的随机数，，分别对，进行反变换，可得： 由于也是随机变量，故可令 根据，与，之间的变换关系得 (2) 中心极限定理法 设为独立同分布的随机