概率论与数理统计 教学课件 ppt 作者 韩世迁 主编第四章 二维随机变量及其分布.pptx

概率论与数理统计 第四章 二维随机 变量及其分布 第四章 二维随机变量及其分布1二维随机变量及随机变量的独立性2绘图环境的设置3图形的绘制和编辑第一节 二维随机变量及随机变量的独立性二维随机变量的概念1随机变量的独立性2一、二维随机变量的概念定义1 设E随机试验E的样本空间为 ，而X,Y是定义在 上的随机变量，则二维向量(X,Y)称为二维随机变量(2-dimensional random varibable)，相应地，称(X,Y)的取值规律为二维分布。一、二维随机变量的概念定义2 设(X,Y)为二维随机变量，称 为的联合分布函数(Joint distribution function)。其中x,y 是任意实数。称 =为X的边缘分布函数(Margial distribution function)， 为 Y的边缘分布函数。一、二维随机变量的概念联合分布函数F(x,y)有如下的性质：1.2.关于x、关于y单调不减；3.关于x、关于y右连续4.5.二、随机变量的独立性定义3 设(X,Y)为二维随机变量。若对于任意实数x,y,有 ，即 ，称X,Y相互独立（Mutually independent）。n维随机向量或 联合分布函数为第二节 二维离散型随机变量二维离散型随机变量概念1二维离散型随机变量函数的分布2一、二维离散型随机变量概念定义4 若二维随机变量(X,Y)的可能取值是有限多对或可数无穷多对，则称(X,Y)为二维离散型随机变量，称它的分布为二维离散型分布。定义5 二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值为 称 为(X,Y)的联合分布律(Joint probability distribution)，其中一、二维离散型随机变量概念定义6 称为X的边缘分布律。 称为Y的边缘分布律。一、二维离散型随机变量概念称为在 条件下随机变量X的条件分布律(Conditional distribution)。称为在 条件下随机变量 的条件分布律。一、二维离散型随机变量概念二维离散型随机变量联合分布律、边缘分布律表1一、二维离散型随机变量概念例1 设随机变量X在1，2，3，4中等可能地取值，另一个随机变量Y在1 中等可能地取一整数值，求(X,Y)的联合分布律，边缘分布律，条件分布律，并判断X与Y是否相互独立。解 由乘法公式求得(X,Y)的联合分布律为，’ =一、二维离散型随机变量概念表2一、二维离散型随机变量概念容易求得边缘分布律并可验证X与Y不是相互独立的。由= ，（j=1,2,3,4）， 得在X=1的条件下，Y的分布律为二、二维离散型随机变量函数的分布例2 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为：求：（1）Z=2X+Y (2)Z=XY的分布律。二、二维离散型随机变量函数的分布解：由 的联合分布律可列出下表二、二维离散型随机变量函数的分布由上面的列表可得（1）Z=2X+Y的分布律为：（2）Z=XY的分布律为：第三节 二维连续型随机变量二维连续型随机变量概念1二维连续型随机变量函数的分布2常见的二维连续型随机变量的联合分布3一、二维连续型随机变量概念定义7 F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，如果存在着一个二元非负实值函数f(x,y)，使得对任何 x,y有则(X,Y)二维连续型随机变量， f(x,y)为二维随机变量 的联合概率密度(Joint probability density function),简称联合密度函数。一、二维连续型随机变量概念联合密度函数f(x,y)具有下列性质：1.2.3.为连续函数，且在f(x,y)的连续点处，一、二维连续型随机变量概念定义8 称为X的边缘密度函数。 称为Y的边缘密度函数。一、二维连续型随机变量概念定义9 称 为在Y=y条件下X的条件概率密度,称 为在X=x条件下Y的条件概率密度.定理2 设(X,Y)为二维连续型随机变量，则X与Y相互独立等价于一、二维连续型随机变量概念例3 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 求：（1）常数c；（2）;（3）边缘密度函数; (4)条件密度函数;（5）判断X ,Y的独立性。一、二维连续型随机变量概念解（1）由性质 得到(2)(3)一、二维连续型随机变量概念(4) = =(5)因此X ,Y相互独立。二、二维连续型随机变量函数的分布1.Z=X+Y的分布设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)，则由分布函数的定义知，Z=X+Y的分布函数为： =这里的积分区域 是直线x+y=z及其下面的半