物理学 作者 吴新红 主编曲梅丽 主编 梅丽 齐建春 杨鸿 副主编 李克勇 主审 补充章不定积分与定积分.ppt

* 一、原函数与不定积分 第三节 不定积分与定积分 不定积分的基本知识 三、不定积分的性质 二、基本积分表 定义 1　设函数 y = f (x) 在某区间上有定义， 如果存在函数 F (x)， 对于该区间上任一点 x， 使 F ?(x)= f (x) 或 dF(x) = f (x)dx ， 则称函数 F (x) 是已知函数 f (x) 在该区间上的一个原函数. 一、原函数与不定积分 ( x3 + C )? = 3x2 (C 为任意常数)， 所以 x3 + 1， x3 + C 都是 3x2 在区间 (? ?, ? ?) 内的原函数. 例如，因为在区间 (? ?, ? ?) 内有(x3)? = 3x2， 所以 x3 是 3x2 在区间 (? ?, ? ?) 内一个原函数， 又因为(x3+1)?= 3x2， 一般地， 若 F(x) 是 f (x) 在某区间上的一个原函数， 则函数族 F(x) + C (C 为任意常数)都是 f (x) 在该区间上的原函数. 其中符号 称为积分号， f (x) dx 称为被积表达式，或称被积分式， 　　　　　　　　　　　　　　　 x 称为积分变量， 　　定义 2　若 F(x) 是 f (x) 在区间 I 上的一个原函数， 即 则 F(x) + C (C为任意常数)称为 f (x) 在该区间上的不定积分， 记为 f(x) 称为被积函数， C 称为积分常数. 例 1　求下列不定积分 　　解　根据不定积分的定义，求出被积函数的一个原函数后，再加上一个积分常数 C 即可. (1)被积函数 f ( x ) = 2x， 因为 ( x2 )? = 2x， 即 x2 是 2x 的一个原函数 ， 所以，不定积分 (2)被积函数 f (x) = sin x， 因为 (- cos x)? = sinx， 即 - cos x 是 sin x 的一个原函数， 所以，不定积分 所以得 所以得 所以 当 x 0 时， 二、基本积分表 　　性质 1　两个函数和、差的不定积分等于各个函数不定积分的和、差。 三、不定积分的性质 即 　　性质 2　被积函数中的不为零的常数因子可以提到积分号外。 即 (k 为不等于零的常数) 例 2　求不定积分 即各积分常数可以合并. 其中 C = 2C1+C2 ， 解 因此，求代数和的不定积分时，只需在最后写出一个积分常数 C 即可. 例 3　求 解 　　例 4　设一质点以速度 v = 2cos t 作直线运动，求质点的运动规律. 　　解　质点的运动规律是指位移 s 是时间 t 的函数 s = s(t)， 按题意有 得 练习:求下列不定积分 定积分的基本知识 一、定积分的定义 三、定积分的性质 二、微积分的基本公式 引入一个例子:求曲边梯形的面积 曲边梯形：在直角坐标系中， 　　　 由闭区间[a, b]上的连续曲线 y = f (x) ≥ 0， 　　　　　　　　 直线 x = a，x = b 与 x 轴围成的平面图形 AabB. y x O a b A B x = a x = b y = f (x) 一、定积分的定义 (1) 分割 在区间[a, b]内任意插入 n – 1 个分点： a = x0 x1 x2 ··· xi-1 xi ··· xn-1 xn = b， 把区间[a, b]分成 n 个小区间： [x0, x1]，[x1, x2]，· · · ，[xi-1, xi ]，· · · ，[xn-1, xn]. 这些小区间的长度分别记为 ?xi = xi – xi -1 (i = 1, 2, ··· , n). 　　过每一分点作平行于 y 轴的直线， 它们把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形. 按下面四步计算曲边梯形面积： a = x0 x1 xi-1 xn= b O y = f (x) y B A x xi O y B A x (2) 近似代替 　　在每个小区间 [xi-1, xi](i = 1, 2, · · · , n)上取一点 xi (xi-1 ≤xi ≤ xi), 以 f(xi)为高，?xi 为底作小矩形， 用小矩形面积 f (xi)?xi 近似代替相应的小曲边梯形面积 ?Ai ， 即 ?Ai ? f (xi) ?xi (i = 1, 2, · · · , n) . x1 x2 xi xn x O y = f (x) y