第三章-静电场及其边值问题的解法.ppt

* 边值型问题解法 计算法 实验法 图解法 解析法 数值法 有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法 … 镜像法 分离变量法 复变函数法 格林函数法 … * 3.5.2 惟一性定理 　惟一性定理的重要意义 　给出了静态场边值问题具有惟一解的条件 　为静态场边值问题的各种求解方法(试探解、解析解、数值解等）提供了理论依据 　为求解结果的正确性提供了判据 　惟一性定理的表述 在场域V 的边界面S上给定 或 的值，则空间中的场就惟一地确定了。 静电场边值问题归结于在给定边界条件下求解泊松方程和拉普拉斯方程的问题。那么，在什么条件下方程的解是惟一的呢？ 也就是说，满足边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的，这就是静电场惟一性定理。 * 非均匀感应电荷产生的电位很难求解，能否用等效电荷的电位替代？ 1. 问题 接地导体板附近有一个点电荷，上半空间的电位？ q q′ 非均匀感应电荷 等效电荷 3.6 镜像法 q 点电荷在空间中的电位？ * 　 接地导体球附近有一个点电荷，如图。 q 非均匀感应电荷 q′ 等效电荷 　问题：这种等效电荷是否存在？ 这种等效是否合理？ 非均匀感应电荷产生的电位很难求解，能否用等效电荷的电位替代 * 2. 镜像法原理 用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。 在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不变的前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同一泛定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且是惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法。 3. 镜像法的理论基础——解的惟一性定理 * 镜像电荷的个数、位置及其电量大小——“三要素” ； 4. 镜像法应用的关键点 5. 确定镜像电荷的两条原则 　等效求解的“有效场域”。 　镜像电荷的确定 　镜像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中； 　镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域的边界条件来确定。 * 1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像 满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。 3.6.1 接地导体平面附近的点（线）电荷 镜像电荷 电位函数 q 有效区域 q 　求此电荷在上半空间的场？ 边界条件：z = 0时，?=0 P(x,y,z) P0 * 上半空间( z≥0 ）的电位函数 q 导体平面上的感应电荷密度为 导体平面上的总感应电荷为 可见，镜像电荷 代替了导体表面所有感应电荷对上半空间的作用。 求此电荷在上半空间的电场强度？ 导体平面上的总感应电荷为多少？ * 3.6.2. 导体劈间的点电荷 如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点电荷q 位于(d1, d2 )处。 　 显然，q1 对平面 2 以及q2 对平面 1 均不能满足边界条件。　 对于平面1，有镜像电荷q1=－q，位于(－d1, d2 ) 对于平面2，有镜像电荷q2=－q，位于( d1, －d2 ) 只有在(－d1, －d2 )处再设置一 镜像电荷q3 = q，所有边界条件才能 得到满足。 电位函数 q ? d1 d2 1 2 R R1 R2 R3 q1 d1 d2 d2 q2 d1 q3 d2 d1 * 导体劈间的点电荷在区间产生的电位？ * 导体劈间的点电荷在区间产生的电位？ * 轮流找出镜像电荷及镜像电荷的镜像，直到最后的镜像电荷与原电荷重合为止。 只有n为整数时，最后镜像才能和原电荷重合； 导体交角内任一点的电场就等于N个镜像电荷与原电荷在该点产生场的总和。 可见， 注意： q 1 2 * 例 真空中，电量为 的点电荷位于点 处， 平面是一个无限大的接地导体板。⑴求 轴上电位为 的点的坐标；⑵计算该点的电场强度。 解: ⑴ 根据镜像法可知上半空间的电位 由 可解得 * ⑵ 当 时， 轴上的电场强度 将 代入，得 将 代入，得 当 时， 轴上的电场强度 镜像法小结 * 镜像法的理论基础是静电场惟一性定理； * 镜像法的实质是用虚设的镜像电荷替代边界上感应电荷的分布，使计算场域为无限大均匀介质； * 镜像法的关键是确定镜像电荷的个数、位置及大小； * 应用镜像法解题时，注意：镜像电荷只能放在待求场域以外的区域。叠加时，要注意场的适用区域，它只对该区域等